При двукратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события: а) «оба раза выпадет решка»; б) «выпадет хотя бы один орёл»; в) «выпадут два орла».

Для решения задачи о вероятностях воспользуемся основами теории вероятностей, а именно понятиями условной вероятности и независимых событий.

Когда мы бросаем монету, у нас есть два возможных исхода: решка (H) и орел (T). При этом вероятность выпадения каждой стороны равна \(0.5\).

Теперь проанализируем ситуацию, когда в первом броске выпала решка (H).

Обозначим события:

• \(A_1\): выпадение решки в первом броске (это произошло, вероятность равна 1).
• \(A_2\): выпадение решки во втором броске.
• \(B\): событие "оба раза выпадет решка".
• \(C\): событие "выпадет хотя бы один орел".
• \(D\): событие "выпадут два орла".

a) Вероятность события «оба раза выпадет решка»

Мы ищем условную вероятность события \(B\) при условии \(A_1\) (то есть, что в первый раз выпала решка).

Возможные исходы двух бросков:

1. HH (решка, решка)
2. HT (решка, орел)
3. TH (орел, решка)
4. TT (орел, орел)

Из этих исходов, с учетом условия, нам интересен только второй бросок:

• HH — оба раза выпала решка.
• HT — в первый раз решка, во второй раз — орел.

Таким образом, исходы, которые нас интересуют после того, как получили первую решку, это HH и HT.

Итак, из двух возможных исходов (HH и HT) только один соответствует событию B (HH):

\[ P(B | A_1) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{1}{2} \]

b) Вероятность события «выпадет хотя бы один орел»

Теперь найдем условную вероятность события \(C\) (выпадет хотя бы один орел) при условии \(A_1\).

Возможные исходы, как ничто не изменилось с учетом первого броска:

1. HH (решка, решка)
2. HT (решка, орел)

Из этих двух исходов, только HT соответствует событию C.

Следовательно, у нас:

\[ P(C | A_1) = \frac{1}{2} \]

c) Вероятность события «выпадут два орла»

Наконец, найдём условную вероятность события \(D\) (выпадут два орла) при условии \(A_1\).

Возможные исходы аналогичные:

1. HH (решка, решка)
2. HT (решка, орел)

В этом случае ни один из этих исходов не соответствует событию D (два орла).

Поэтому:

\[ P(D | A_1) = 0 \]

Ответы

• а) \(P(B | A_1) = \frac{1}{2}\)
• б) \(P(C | A_1) = \frac{1}{2}\)
• в) \(P(D | A_1) = 0\)

Эти результаты показывают, как условные вероятности могут варьироваться в зависимости от известного исхода.