решить

Для задачи 4 нужно доказать, что \( AO = OB \), где \( O \) — точка пересечения отрезков \( AB \) и \( CD \).

Решение:

1. Расставим известные данные:

   • Точки \( A \) и \( B \) находятся по разные стороны от прямой \( CD \).
   • \( AC = BC \), \( AD = BD \).
   • \( O \) — точка пересечения отрезков \( AB \) и \( CD \).

2. Доказательство равенства отрезков \( AO = OB \):

   Рассмотрим треугольники \( AOC \) и \( BOC \).

   • Они имеют общую сторону \( OC \).
   • У них равны стороны \( AC = BC \) (по условию задачи).

   Рассмотрим треугольники \( AOD \) и \( BOD \).

   • Они также имеют общую сторону \( OD \).
   • У них равны стороны \( AD = BD \) (по условию задачи).

3. Рассмотрим вторую часть задачи:

   Поскольку \( O \) — точка пересечения отрезков и \( AB \) и \( CD \) делят друг друга пополам, то можно заключить, что:

   • \(\triangle AOC \cong \triangle BOC\) по двум равным сторонам и общей стороне.
   • \(\triangle AOD \cong \triangle BOD\) по тем же причинам.

4. Вывод:

   Из конгруэнтности треугольников следует, что:

   • \( AO = OB \).

Таким образом, доказано, что \( AO = OB \), что и требовалось.