3. Проводится серия независимых испытаний Бернулли, состоящая из шести испытаний. Сколько элементарных событий благоприятствует наступлению одного, двух или шести успехов?
Чтобы разобраться в данной задаче, давайте проанализируем её шаг за шагом. Мы имеем дело с независимыми испытаниями Бернулли, где каждое испытание имеет два возможных исхода: успех (например, "да") и неуспех (например, "нет"). В нашем случае мы рассматриваем шесть таких испытаний.
Параметры задачи
- Число испытаний (n): 6
- Число успехов (k): 1, 2, или 6
Формула для расчета
Для подсчета количества элементарных событий, благоприятствующих k успехам в n испытаниях, мы используем биномиальное распределение. Количество способов выбрать k успехов из n испытаний задается формулой:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]
где \( C(n, k) \) — число сочетаний, \( n! \) — факториал n, который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до n.
Пошаговое решение
Найдем количество благоприятствующих элементарных событий для 1 успеха (k = 1): \[ C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{1 \cdot 5!} = 6 \] → Имеется 6 способов, чтобы получить 1 успех при 6 испытаниях.
Теперь найдем количество благоприятствующих элементарных событий для 2 успехов (k = 2): \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] → Имеется 15 способов получить 2 успеха при 6 испытаниях.
Теперь найдем количество благоприятствующих элементарных событий для 6 успехов (k = 6): \[ C(6, 6) = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = 1 \] → Имеется только 1 способ получить 6 успехов (все испытания успешны).
Общее количество элементарных событий
Теперь мы можем подвести итоги, сложив количество благоприятствующих событий:
- Для 1 успеха: 6
- Для 2 успехов: 15
- Для 6 успехов: 1
Таким образом, общее количество элементарных событий для достижения 1, 2 или 6 успехов:
\[ 6 + 15 + 1 = 22 \]
Ответ
Общее количество элементарных событий, которые благоприятствуют наступлению одного, двух или шести успехов, равно 22.
