9 − 5 x − 4 x 2 = 0 9−5x−4x 2 =0 .
Давайте решим уравнение \( 9 - 5x - 4x^2 = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Мы можем сначала переписать уравнение в стандартном виде, переставив его так, чтобы все члены были на одной стороне уравнения:
\[ -4x^2 - 5x + 9 = 0 \]
Для удобства, можно умножить все уравнение на -1, чтобы избавиться от минуса перед \( 4x^2 \):
\[ 4x^2 + 5x - 9 = 0 \]
Шаг 2: Определение коэффициентов
Теперь у нас есть стандартная форма квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:
- \( a = 4 \)
- \( b = 5 \)
- \( c = -9 \)
Шаг 3: Использование формулы квадратного уравнения
Для решения квадратных уравнений мы можем использовать формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Шаг 4: Подставим значения в формулу
- Найдем \( b^2 - 4ac \):
\[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) \] \[ = 25 + 144 = 169 \]
- Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} \]
Шаг 5: Вычисление корней
Значение \( \sqrt{169} = 13 \). Теперь подставим это в формулу:
\[ x = \frac{-5 \pm 13}{8} \]
Теперь у нас есть два случая:
Случай 1: \[ x_1 = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
Случай 2: \[ x_2 = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} \]
Шаг 6: Ответ
Таким образом, у нас есть два корня уравнения:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{9}{4} \]
Проверка
Мы можем подставить полученные корни обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они являются верными:
Для \( x = 1 \): \[ 9 - 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 5 - 4 = 0 \quad (верно) \]
Для \( x = -\frac{9}{4} \): \[ 9 - 5 \cdot \left(-\frac{9}{4}\right) - 4\left(-\frac{9}{4}\right)^2 = 9 + \frac{45}{4} - 4 \cdot \frac{81}{16} \] \[ = 9 + \frac{45}{4} - \frac{324}{16} = 9 + \frac{45}{4} - \frac{81}{4} = 9 - \frac{36}{4} = 9 - 9 = 0 \quad (верно) \]
Итак, оба корня проверены и являются правильными. Ответ: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{9}{4} \).
