Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с тем, как рассчитывается количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении при переменном токе.
Шаг 1: Понять формулы
Для расчёта количества теплоты ( Q ), выделяющейся на сопротивлении, мы можем воспользоваться формулой:
[
Q = I^2 R t
]
где:
- ( I ) — эффективное значение тока,
- ( R ) — сопротивление (в данном случае 10 Ом),
- ( t ) — время, в течение которого ток течёт.
Шаг 2: Найти эффективное значение напряжения
Дано уравнение напряжения:
[
u(t) = 141 \cos(100 \pi t)
]
Эффективное значение напряжения ( U_{eff} ) для переменного тока можно найти по формуле:
[
U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}
]
где ( U_{max} ) — максимальное значение напряжения. В данном случае:
[
U_{max} = 141 , \text{В}
]
Следовательно,
[
U_{eff} = \frac{141}{\sqrt{2}} \approx 99.3 , \text{В}
]
Шаг 3: Найти эффективное значение тока
Теперь найдём эффективное значение тока ( I_{eff} ). Для этого используем закон Ома:
[
I_{eff} = \frac{U_{eff}}{R}
]
Подставляем значения:
[
I_{eff} = \frac{99.3}{10} \approx 9.93 , \text{А}
]
Шаг 4: Рассчитать количество теплоты за один период
Период ( T ) колебаний можно найти из уравнения ( \omega = 100\pi ):
[
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} , \text{с}
]
Теперь подставим значения в формулу количества теплоты:
[
Q = I_{eff}^2 R T
]
Подставляем ( I_{eff} ), ( R ) и ( T ):
[
Q = (9.93)^2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{50}
]
Считаем:
- ( (9.93)^2 \approx 98.6 )
- ( Q = 98.6 \cdot 10 \cdot 0.02 )
- ( Q \approx 19.72 , \text{Дж} )
Ответ
Количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении 10 Ом за один период колебаний, составляет приблизительно 19.72 Дж.
