У графа 7 вершин и 8 рёбер. Найти количество вершин степени 3.

Для решения задачи о графе с 7 вершинами и 8 рёбрами, нам нужно воспользоваться окружностью теоремы о степени вершин в графе.

Шаг 1: Понять основные понятия

• Степень вершины — это количество рёбер, которые соединены с данной вершиной. Например, если вершина соединена с тремя другими вершинами, её степень равна 3.

• Сумма степеней всех вершин в любом графе равна удвоенному количеству рёбер. Это выражается формулой:

  \[ \sum_{v \in V} \text{deg}(v) = 2E \]

  где \( V \) — множество вершин, \( \text{deg}(v) \) — степень вершины \( v \), а \( E \) — количество рёбер.

Шаг 2: Применить формулу

В нашем случае:

• Количество рёбер \( E = 8 \).

• Таким образом, сумма степеней всех вершин равна:

  \[ \sum_{v \in V} \text{deg}(v) = 2 \times 8 = 16 \]

Шаг 3: Указать параметры

Исходя из данного, у нас 7 вершин. Пусть:

• \( x \) — количество вершин степени 3.
• \( y \) — количество вершин степени 2.
• \( z \) — количество вершин степени 1.

С учетом этого, можем записать два уравнения:

1. Уравнение по количеству вершин: \[ x + y + z = 7 \]

2. Уравнение по сумме степеней вершин: \[ 3x + 2y + z = 16 \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + y + z = 7 \)
2. \( 3x + 2y + z = 16 \)

Сначала из первого уравнения выразим \( z \):

\[ z = 7 - x - y \]

Теперь подставим \( z \) во второе уравнение:

\[ 3x + 2y + (7 - x - y) = 16 \]

Упрощаем это уравнение:

\[ 3x + 2y + 7 - x - y = 16 \]

\[ 2x + y + 7 = 16 \]

\[ 2x + y = 9 \]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

1. \( x + y + z = 7 \)
2. \( 2x + y = 9 \)

Из второго уравнения выразим \( y \):

\[ y = 9 - 2x \]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[ x + (9 - 2x) + z = 7 \]

\[ x + 9 - 2x + z = 7 \]

\[ -z + 9 - x = 7 \]

\[ z = 2 - x \]

Шаг 5: Подбор возможных целых решений

Так как \( x, y, z \) — это количество вершин, они должны быть неотрицательными целыми числами:

• Из уравнения \( z = 2 - x \), следует, что \( x \) не может превышать 2.
• Если \( x = 0 \), то \( z = 2 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \).
• Если \( x = 1 \), то \( z = 1 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \).
• Если \( x = 2 \), то \( z = 0 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \).

Таким образом, \[ x \] (количество вершин степени 3) равно 2.

Ответ

Количество вершин степени 3 в графе равняется 2.