У графа 7 вершин и 8 рёбер. Найти количество вершин степени 3.

Для решения задачи о графе с 7 вершинами и 8 рёбрами, нам нужно воспользоваться окружностью теоремы о степени вершин в графе. ### Шаг 1: Понять основные понятия - **Степень вершины** — это количество рёбер, которые соединены с данной вершиной. Например, если вершина соединена с тремя другими вершинами, её степень равна 3. - **Сумма степеней всех вершин** в любом графе равна удвоенному количеству рёбер. Это выражается формулой: \[ \sum_{v \in V} \text{deg}(v) = 2E \] где \( V \) — множество вершин, \( \text{deg}(v) \) — степень вершины \( v \), а \( E \) — количество рёбер. ### Шаг 2: Применить формулу В нашем случае: - Количество рёбер \( E = 8 \). - Таким образом, сумма степеней всех вершин равна: \[ \sum_{v \in V} \text{deg}(v) = 2 \times 8 = 16 \] ### Шаг 3: Указать параметры Исходя из данного, у нас 7 вершин. Пусть: - \( x \) — количество вершин степени 3. - \( y \) — количество вершин степени 2. - \( z \) — количество вершин степени 1. С учетом этого, можем записать два уравнения: 1. Уравнение по количеству вершин: \[ x + y + z = 7 \] 2. Уравнение по сумме степеней вершин: \[ 3x + 2y + z = 16 \] ### Шаг 4: Решение системы уравнений Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( x + y + z = 7 \) 2. \( 3x + 2y + z = 16 \) Сначала из первого уравнения выразим \( z \): \[ z = 7 - x - y \] Теперь подставим \( z \) во второе уравнение: \[ 3x + 2y + (7 - x - y) = 16 \] Упрощаем это уравнение: \[ 3x + 2y + 7 - x - y = 16 \] \[ 2x + y + 7 = 16 \] \[ 2x + y = 9 \] Теперь у нас есть новая система уравнений: 1. \( x + y + z = 7 \) 2. \( 2x + y = 9 \) Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = 9 - 2x \] Подставим это значение в первое уравнение: \[ x + (9 - 2x) + z = 7 \] \[ x + 9 - 2x + z = 7 \] \[ -z + 9 - x = 7 \] \[ z = 2 - x \] ### Шаг 5: Подбор возможных целых решений Так как \( x, y, z \) — это количество вершин, они должны быть неотрицательными целыми числами: - Из уравнения \( z = 2 - x \), следует, что \( x \) не может превышать 2. - Если \( x = 0 \), то \( z = 2 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \). - Если \( x = 1 \), то \( z = 1 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \). - Если \( x = 2 \), то \( z = 0 \) и \( y = 7 - z - x = 5 \). Таким образом, \[ x \] (количество вершин степени 3) равно 2. ### Ответ Количество вершин степени 3 в графе равняется **2**.