На доске выписаны числа 7 и 8. За один ход надо заменить написанные на доске числа а и b числами (2а + 3 ) и (2 + а + b). Например, из чисел 7 и 8 можно получить либо числа ( 17; 17), либо числа ( 19; 17). a) Может ли после нескольких ходов на доске появиться число 77? б) Может ли через 101 ход на доске появиться число 20008? в) Может ли через 205 ходов на доске появиться два одинаковых числа?

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом, чтобы понять, как можно получить различные числа, начиная с 7 и 8. ### Заданные числа Начинаем с чисел \( a = 7 \) и \( b = 8 \). ### Правила замены На каждом ходу числа заменяются по следующим правилам: - Первое число \( a \) заменяется на \( 2a + 3 \) - Второе число \( b \) заменяется на \( 2 + a + b \) ### Применение правил на примерах 1. Сначала найдем, какие числа можем получить после первого хода, используя начальные \( a \) и \( b \): - Первое число: \( 2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17 \) - Второе число: \( 2 + a + b = 2 + 7 + 8 = 2 + 15 = 17 \) Таким образом, после первого хода мы можем получить пару чисел (17; 17). 2. Если вместо \( b \) используем выражение для \( a \): - Первое число: \( 2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 17 \) - Второе число: \( 2 + a + b = 2 + 7 + 17 = 2 + 24 = 26 \) На первом ходу можем получить (17; 26) или (17; 17) в зависимости от того, какие из чисел меняем. ### a) Может ли после нескольких ходов на доске появиться число 77? В процессе замен \( a \) и \( b \) всегда увеличиваются. Вместо того, чтобы считать каждое возможное значение, давайте посмотрим на общее поведение последовательности. На каждом шаге: - Первое число увеличивается как минимум на 3 (от \( 2a + 3 \)). - Второе число также увеличивается, поэтому оба числа никогда не уменьшаются. Посмотрим на четность чисел. Начальные числа 7 и 8 — нечетное и четное соответственно. На каждом ходе: - \( 2a + 3 \) (нечетное + четное) == нечетное - \( 2 + a + b \) (четное + нечетное + четное) == четное Можем заметить, что \( a \) и \( b \) будут чередоваться по четности. Следовательно, никогда не появится нечетное число при нечетном числе запусков, что означает, что не может быть числа 77. **Ответ:** Нет, число 77 появиться не может. ### б) Может ли через 101 ход на доске появиться число 20008? Как и в предыдущем анализе, мы видим, что начиная с нечётного и чётного, четность остается неизменной, то есть один из \( a \) или \( b \) будет четным, а другой нечетным после 101 хода. Число 20008 — четное. Если число по-прежнему следует четности, число может появиться. Поэтому число 20008 может появиться через 101 шаг. **Ответ:** Да, число 20008 может появиться. ### в) Может ли через 205 ходов на доске появиться два одинаковых числа? Числа \( a \) и \( b \) всегда чередуются в четности. Если у нас в начале нечетное число (7) и четное (8), на каждом нечетном шаге (на каждом четном шаге) один из них будет нечетным, а другой четным. Таким образом, не может возникнуть ситуация, где оба числа станут одинаковыми через 205 ходов (которые нечетные). **Ответ:** Нет, два одинаковых числа через 205 ходов не могут появиться. Таким образом, все части задачи проанализированы, и мы правильно рассмотрели природу преобразований чисел.