Прямоугольном треугольнике  M N K MNK  ∠ N = 90 ° ∠N=90°,  ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы  M K MK, если  M K + N K = 24 , 78 MK+NK=24,78 мм? Запиши ответ числом.  M K = MK=

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. ### Условия задачи: - Прямоугольный треугольник \(MNK\) с углом \( \angle N = 90^\circ \) и углом \( \angle K = 60^\circ \). - Сумма катетов \( MK + NK = 24,78 \) мм. ### Шаг 1: Определим углы и стороны треугольника В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \). Мы знаем два угла: - \( \angle N = 90^\circ \) - \( \angle K = 60^\circ \) Таким образом, угол \( \angle M \) можно найти так: \[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] Теперь у нас есть все углы треугольника: - \( \angle M = 30^\circ \) - \( \angle K = 60^\circ \) - \( \angle N = 90^\circ \) ### Шаг 2: Обозначим стороны Обозначим стороны треугольника: - \( MK = a \) - \( NK = b \) - \( MN (гипотенуза) = c \) По условию задачи нам известно, что: \[ a + b = 24,78 \, \text{мм} \] ### Шаг 3: Используем свойства треугольника В прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \): - Сторона, противоположная углу \( 30^\circ \) (в данном случае \( NK = b \)), в два раза меньше, чем гипотенуза \( c \). - Сторона, противоположная углу \( 60^\circ \) (в данном случае \( MK = a \)), равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c \). ### Шаг 4: Запишем систему уравнений Из вышеизложенного мы имеем: 1. \( a + b = 24,78 \) 2. \( b = \frac{c}{2} \) 3. \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} c \) Подставим \( a \) и \( b \) в первое уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} c + \frac{c}{2} = 24,78 \] ### Шаг 5: Найдем \( c \) Соберем подобные: \[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) c = 24,78 \] \[ \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) c = 24,78 \] Теперь умножим обе стороны на 2: \[ (\sqrt{3} + 1)c = 49,56 \] Теперь выразим \( c \): \[ c = \frac{49,56}{\sqrt{3} + 1} \] ### Шаг 6: Вычислим численное значение гипотенузы Теперь подсчитаем значение \( c \): \[ c \approx \frac{49,56}{1,732 + 1} \approx \frac{49,56}{2,732} \approx 18,16 \, \text{мм} \] ### Шаг 7: Найдем \( MK \) Теперь найдем \( MK = a \): \[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} c \approx \frac{1,732}{2} \cdot 18,16 \approx 15,73 \, \text{мм} \] Таким образом, численное значение гипотенузы \( MK \) равно: \[ \boxed{15,73} \]