Ваня доходит от дома до школы за 30 минут, а его сестра Лена — за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

Решим задачу шаг за шагом.

1. Определим скорость Вани и Лены.
   Поскольку скорость (v) можно вычислить как расстояние (s) деленное на время (t), предположим, что расстояние от дома до школы одинаковое. Обозначим это расстояние как \( S \).

   Ваня доходит до школы за 30 минут, значит его скорость: \[ v_{Ваня} = \frac{S}{30} \]

   Лена доходит до школы за 40 минут, значит её скорость: \[ v_{Лена} = \frac{S}{40} \]

2. Время в пути.
   Лена начинает свой путь на 5 минут раньше Вани. Следовательно, когда Ваня выходит из дома, Лена уже успела пройти определенное расстояние. Найдем это расстояние.

   Расстояние, которое прошла Лена за 5 минут: \[ s_{Лена, 5мин} = v_{Лена} \times 5 = \frac{S}{40} \times 5 = \frac{5S}{40} = \frac{S}{8} \]

   Это означает, что когда Ваня выходит, Лена находится на расстоянии \( \frac{S}{8} \) от дома.

3. Определим относительную скорость.
   Теперь определим, с какой скоростью Ваня догоняет Лену. Для этого нужно вычесть скорость Лены из скорости Вани: \[ v_{догона} = v_{Ваня} - v_{Лена} = \frac{S}{30} - \frac{S}{40} \]

   Чтобы выполнить вычитание, найдем общий знаменатель (это будет 120): \[ v_{догона} = \frac{4S}{120} - \frac{3S}{120} = \frac{1S}{120} = \frac{S}{120} \]

4. Время, которое потребуется Ване, чтобы догнать Лену.
   Теперь знаем, что Ваня должен пройти расстояние \( \frac{S}{8} \), чтобы догнать Лену. Время \( t \) на это можно вычислить по формуле: \[ t = \frac{d}{v} = \frac{\frac{S}{8}}{\frac{S}{120}} = \frac{S}{8} \times \frac{120}{S} = \frac{120}{8} = 15 \text{ минут} \]

Таким образом, Ваня догонит Лену через 15 минут после того, как он выйдет из дома.