Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии (ГП) с первым членом ( a = 32 ) и знаменателем ( q = \frac{1}{2} ), воспользуемся формулой суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где:
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов,
- ( a ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель,
- ( n ) — количество членов.
Шаг 1: Подставим известные значения в формулу
Для нашей задачи:
- ( a = 32 )
- ( q = \frac{1}{2} )
- ( n = 7 )
Подставляем данные в формулу:
[
S_7 = 32 \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^7}{1 - \frac{1}{2}}
]
Шаг 2: Вычислим значение знаменателя ( 1 - q )
[
1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
]
Шаг 3: Вычислим ( q^n )
Теперь нужно найти ( \left( \frac{1}{2} \right)^7 ):
[
\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \frac{1}{128}
]
Шаг 4: Подставим это значение в формулу
Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:
[
S_7 = 32 \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}}
]
Шаг 5: Вычислим ( 1 - \frac{1}{128} )
[
1 - \frac{1}{128} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128}
]
Шаг 6: Подставим это значение в формулу
Теперь заменяем:
[
S_7 = 32 \frac{\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}}
]
Шаг 7: Умножим на ( \frac{1}{\frac{1}{2}} )
[
\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
]
Тогда сумма становится:
[
S_7 = 32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2
]
[
S_7 = 32 \cdot \frac{254}{128}
]
Шаг 8: Упростим дробь
32 и 128 сокращаются:
[
S_7 = 2 \cdot 254 = 508
]
Ответ
Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии составляет ( S_7 = 508 ).
