Найди сумму первых 7 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 32 и знаменателем , равным 1/2

Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии (ГП) с первым членом \( a = 32 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \), воспользуемся формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — количество членов.

Шаг 1: Подставим известные значения в формулу

Для нашей задачи:

• \( a = 32 \)
• \( q = \frac{1}{2} \)
• \( n = 7 \)

Подставляем данные в формулу:

\[ S_7 = 32 \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^7}{1 - \frac{1}{2}} \]

Шаг 2: Вычислим значение знаменателя \( 1 - q \)

\[ 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Вычислим \( q^n \)

Теперь нужно найти \( \left( \frac{1}{2} \right)^7 \):

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^7 = \frac{1}{128} \]

Шаг 4: Подставим это значение в формулу

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

\[ S_7 = 32 \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} \]

Шаг 5: Вычислим \( 1 - \frac{1}{128} \)

\[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128} \]

Шаг 6: Подставим это значение в формулу

Теперь заменяем:

\[ S_7 = 32 \frac{\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} \]

Шаг 7: Умножим на \( \frac{1}{\frac{1}{2}} \)

\[ \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Тогда сумма становится:

\[ S_7 = 32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 \]

\[ S_7 = 32 \cdot \frac{254}{128} \]

Шаг 8: Упростим дробь

32 и 128 сокращаются:

\[ S_7 = 2 \cdot 254 = 508 \]

Ответ

Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии составляет \( S_7 = 508 \).