Найди сумму первых 7 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 32 и знаменателем , равным 1/2
Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, давайте сначала разберем, что такое геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент получается путем умножения предыдущего элемента на одно и то же число (называемое знаменателем прогрессии).
Дано:
- Первый член прогрессии \( a = 32 \)
- Знаменатель прогрессии \( r = \frac{1}{2} \)
- Количество членов \( n = 7 \)
Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле:
\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
Шаг 1: Подставим известные значения в формулу
- \( a = 32 \)
- \( r = \frac{1}{2} \)
- \( n = 7 \)
Подставим значения в формулу:
\[ S_7 = 32 \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^7}{1 - \frac{1}{2}} \]
Шаг 2: Вычислим знаменатель
Сначала посчитаем \( 1 - \frac{1}{2} \):
\[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^7 \)
Теперь найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^7 \):
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^7 = \frac{1}{128} \]
Шаг 4: Подставим и упростим
Теперь вернемся к формуле:
\[ S_7 = 32 \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} \]
Сначала рассчитаем \( 1 - \frac{1}{128} \):
\[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128}{128} - \frac{1}{128} = \frac{127}{128} \]
Теперь подставим это значение:
\[ S_7 = 32 \frac{\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 \]
Шаг 5: Упростим выражение
Это упрощается до:
\[ S_7 = 32 \cdot \frac{127 \cdot 2}{128} = 32 \cdot \frac{254}{128} = \frac{32 \cdot 254}{128} \]
Шаг 6: Упрощаем дробь
Теперь упростим \( \frac{32}{128} \):
\[ \frac{32}{128} = \frac{1}{4} \]
Теперь подставляем в выражение:
\[ S_7 = \frac{1}{4} \cdot 254 = \frac{254}{4} = 63.5 \]
Ответ
Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 32, и знаменателем, равным \( \frac{1}{2} \), составляет 63.5.
