Найди сумму первых 7 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 32 и знаменателем , равным 1/2

Чтобы найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, давайте сначала разберем, что такое геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент получается путем умножения предыдущего элемента на одно и то же число (называемое знаменателем прогрессии). ### Дано: - Первый член прогрессии \( a = 32 \) - Знаменатель прогрессии \( r = \frac{1}{2} \) - Количество членов \( n = 7 \) ### Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \] ### Шаг 1: Подставим известные значения в формулу - \( a = 32 \) - \( r = \frac{1}{2} \) - \( n = 7 \) Подставим значения в формулу: \[ S_7 = 32 \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^7}{1 - \frac{1}{2}} \] ### Шаг 2: Вычислим знаменатель Сначала посчитаем \( 1 - \frac{1}{2} \): \[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 3: Найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^7 \) Теперь найдем \( \left( \frac{1}{2} \right)^7 \): \[ \left( \frac{1}{2} \right)^7 = \frac{1}{128} \] ### Шаг 4: Подставим и упростим Теперь вернемся к формуле: \[ S_7 = 32 \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} \] Сначала рассчитаем \( 1 - \frac{1}{128} \): \[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128}{128} - \frac{1}{128} = \frac{127}{128} \] Теперь подставим это значение: \[ S_7 = 32 \frac{\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 \] ### Шаг 5: Упростим выражение Это упрощается до: \[ S_7 = 32 \cdot \frac{127 \cdot 2}{128} = 32 \cdot \frac{254}{128} = \frac{32 \cdot 254}{128} \] ### Шаг 6: Упрощаем дробь Теперь упростим \( \frac{32}{128} \): \[ \frac{32}{128} = \frac{1}{4} \] Теперь подставляем в выражение: \[ S_7 = \frac{1}{4} \cdot 254 = \frac{254}{4} = 63.5 \] ### Ответ Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 32, и знаменателем, равным \( \frac{1}{2} \), составляет **63.5**.