Решите задачу с помощью уравнения За 5 часов движения вниз по реке и 3 часа по озеру катер проходит 140 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
Давайте решим задачу поэтапно, используя уравнения для нахождения скорости катера.
Шаг 1: Определение переменных
Обозначим:
- \( v_k \) — собственная скорость катера (в км/ч).
- Скорость течения реки = 2 км/ч.
- Скорость катера по реке = \( v_k + 2 \) (поскольку катер движется по течению).
- Скорость катера по озеру = \( v_k \) (озеро без течения).
Шаг 2: Определение расстояний
Из условия задачи известно, что:
- Время движения катера по реке = 5 часов.
- Время движения катера по озеру = 3 часа.
- Общая дистанция, пройденная катером = 140 км.
Теперь можем определить расстояния, пройденные катером по реке и озеру:
Расстояние по реке: \[ D_{\text{река}} = (v_k + 2) \cdot 5 \]
Расстояние по озеру: \[ D_{\text{озеро}} = v_k \cdot 3 \]
Шаг 3: Составление уравнения
Согласно условиям задачи, суммарное расстояние равно 140 км: \[ D_{\text{река}} + D_{\text{озеро}} = 140 \]
Подставим выражения для расстояний: \[ 5(v_k + 2) + 3v_k = 140 \]
Шаг 4: Решение уравнения
Раскроем скобки и соберем подобные: \[ 5v_k + 10 + 3v_k = 140 \] \[ 8v_k + 10 = 140 \]
Теперь вычтем 10 из обеих сторон: \[ 8v_k = 130 \]
Теперь разделим на 8: \[ v_k = \frac{130}{8} = 16.25 \]
Шаг 5: Ответ
Собственная скорость катера составляет 16.25 км/ч.
Проверка
Проверим, правильно ли мы посчитали расстояния:
Скорость катера по реке: \[ v_k + 2 = 16.25 + 2 = 18.25 \text{ км/ч} \] Расстояние по реке: \[ 5 \cdot 18.25 = 91.25 \text{ км} \]
Скорость катера по озеру: \[ v_k = 16.25 \text{ км/ч} \] Расстояние по озеру: \[ 3 \cdot 16.25 = 48.75 \text{ км} \]
Суммируя расстояния: \[ 91.25 + 48.75 = 140 \text{ км} \]
Таким образом, наши расчеты верны, и ответ — 16.25 км/ч.
