Давайте решим задачу поэтапно, используя уравнения для нахождения скорости катера.
Шаг 1: Определение переменных
Обозначим:
- ( v_k ) — собственная скорость катера (в км/ч).
- Скорость течения реки = 2 км/ч.
- Скорость катера по реке = ( v_k + 2 ) (поскольку катер движется по течению).
- Скорость катера по озеру = ( v_k ) (озеро без течения).
Шаг 2: Определение расстояний
Из условия задачи известно, что:
- Время движения катера по реке = 5 часов.
- Время движения катера по озеру = 3 часа.
- Общая дистанция, пройденная катером = 140 км.
Теперь можем определить расстояния, пройденные катером по реке и озеру:
Расстояние по реке:
[
D_{\text{река}} = (v_k + 2) \cdot 5
]
Расстояние по озеру:
[
D_{\text{озеро}} = v_k \cdot 3
]
Шаг 3: Составление уравнения
Согласно условиям задачи, суммарное расстояние равно 140 км:
[
D_{\text{река}} + D_{\text{озеро}} = 140
]
Подставим выражения для расстояний:
[
5(v_k + 2) + 3v_k = 140
]
Шаг 4: Решение уравнения
Раскроем скобки и соберем подобные:
[
5v_k + 10 + 3v_k = 140
]
[
8v_k + 10 = 140
]
Теперь вычтем 10 из обеих сторон:
[
8v_k = 130
]
Теперь разделим на 8:
[
v_k = \frac{130}{8} = 16.25
]
Шаг 5: Ответ
Собственная скорость катера составляет 16.25 км/ч.
Проверка
Проверим, правильно ли мы посчитали расстояния:
Скорость катера по реке:
[
v_k + 2 = 16.25 + 2 = 18.25 \text{ км/ч}
]
Расстояние по реке:
[
5 \cdot 18.25 = 91.25 \text{ км}
]
Скорость катера по озеру:
[
v_k = 16.25 \text{ км/ч}
]
Расстояние по озеру:
[
3 \cdot 16.25 = 48.75 \text{ км}
]
Суммируя расстояния:
[
91.25 + 48.75 = 140 \text{ км}
]
Таким образом, наши расчеты верны, и ответ — 16.25 км/ч.
