Окружность описана около квадрата. Площадь круга, находящегося внутри окружности, равна 2 π 2π . Найди радиус вписанной в этот квадрат окружности.

Решение задачи состоит из нескольких шагов. Давайте подробнее разберём, как можно найти радиус вписанной окружности.

1. Определим отношения между элементами задачи.
   Пусть сторонa квадрата равна \( a \). Площадь квадрата тогда будет равна \( S_{square} = a^2 \).

2. Окружность, описанная около квадрата.
   Окружность, описанная около квадрата, имеет радиус, равный половине диагонали квадрата. Чтобы найти диагональ квадрата, использую теорему Пифагора:
   \[ d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Таким образом, радиус описанной окружности \( R \) равен:
   \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

3. Площадь круга внутри окружности.
   По условию, площадь круга, который находится внутри окружности, равна \( 2\pi \): \[ S_{circle} = \pi r^2 = 2\pi \] Где \( r \) — радиус этого круга. Чтобы выразить \( r \), уравняем: \[ \pi r^2 = 2\pi \] Делим обе стороны уравнения на \( \pi \): \[ r^2 = 2 \] Извлекаем корень: \[ r = \sqrt{2} \]

4. Определяем размер квадрата.
   Радиус вписанной окружности в квадрат (обозначим его как \( r_{впис} \)) равен половине стороны квадрата: \[ r_{впис} = \frac{a}{2} \]

5. Установим связь между радиусами.
   Радиус описанной окружности \( R \) должен равняться радиусу круга, который находится внутри, следовательно: \[ R = r \] Подставляем значения: \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

6. Находим сторону квадрата \( a \).
   Умножаем обе стороны на 2: \[ a\sqrt{2} = 2 \] Делим обе стороны на \( \sqrt{2} \): \[ a = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

7. Вычисляем радиус вписанной окружности.
   Теперь подставим значение \( a \) для нахождения радиуса вписанной окружности: \[ r_{впис} = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, радиус вписанной в квадрат окружности равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).