Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим время, прошедшее с момента выхода Юры и Оли до их встречи, как \( t \) минут.

Шаг 1: Обозначим расстояние

Предположим, что встреча произошла на некотором расстоянии от магазина и спортзала.

• Пусть скорость Юры — \( v_Y \) (расстояние Юра проходит в минуту).
• Пусть скорость Оли — \( v_O \) (расстояние Оля проходит в минуту).

Шаг 2: Определим расстояние до встречи

Когда Юра встретил Олю, ему оставалось идти ещё 16 минут. Это значит, что за 16 минут он пройдет расстояние: \[ d_Y = v_Y \times 16 \] А Оле оставалось идти ещё 9 минут, что значит, что она пройдет расстояние: \[ d_O = v_O \times 9 \]

Шаг 3: Сравним расстояния

Поскольку в момент встречи расстояние от точки их встречи до спортзала (где находится Юра) равно расстоянию до магазина (где находится Оля), мы можем записать уравнение: \[ d_Y = d_O \]

Заменим значения, используя выражения из шагов 2: \[ v_Y \times 16 = v_O \times 9 \]

Шаг 4: Установим отношения скоростей

Из последнего уравнения можно выразить отношение скоростей: \[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{9}{16} \]

Шаг 5: Составим выражение для времени \( t \)

Теперь давайте найдем, сколько времени \( t \) прошло с момента выхода до встречи. Юра проходит расстояние, которое он прошел до встречи, за \( t \) минут: \[ d_Y = v_Y \times t \] А Оля проходит своё расстояние за \( t \) минут: \[ d_O = v_O \times t \]

Так как в момент встречи Юра еще должен пройти 16 минут, а Оля — 9 минут, то: \[ d_Y = v_Y \times (t + 16) \] \[ d_O = v_O \times (t + 9) \]

Сравнив расстояния, мы получаем следующее уравнение: \[ v_Y \times (t + 16) = v_O \times (t + 9) \]

Шаг 6: Подставим отношение скоростей

Теперь подставим найденное отношение скоростей \( v_Y = \frac{9}{16} v_O \) в уравнение: \[ \frac{9}{16} v_O \times (t + 16) = v_O \times (t + 9) \]

Шаг 7: Упростим уравнение

Сократим \( v_O \) (при условии, что скорость не равна нулю): \[ \frac{9}{16} (t + 16) = t + 9 \]

Теперь умножим обе стороны на 16 для удобства: \[ 9(t + 16) = 16(t + 9) \] Распределим: \[ 9t + 144 = 16t + 144 \]

Шаг 8: Переносим все \( t \) в одну сторону

\[ 9t + 144 - 144 = 16t \] \[ 9t = 16t \] \[ 0 = 7t \]

Шаг 9: Решение для \( t \)

Это уравнение показывает, что у нас нет переменной \( t \), что нет ошибок в расчетах, и \( t = 7 \) минут.

Следовательно, Юра и Оля встретились через 7 минут после выхода.