В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Для решения этой задачи нам нужно понять, как работает средняя арифметическая и как добавления новых элементов влияют на неё.
Давайте обозначим количество акций до покупки последней акции как \( n \). Известно, что у акционера были акции с ценами 100, 200, 300, 400 и 500 рублей. Сначала найдем среднее значение цен этих акций.
Считаем сумму цен акций: \[ S = 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 \text{ рублей} \]
Находим количество акций: \[ n = 5 \]
Находим среднюю цену акций: \[ \text{Средняя цена} = \frac{S}{n} = \frac{1500}{5} = 300 \text{ рублей} \] Мы знаем, что средняя цена по факту составляет 288 рублей с копейками, это значит, что акционер по каким-то причинам неправильно посчитал.
Для того чтобы средняя цена была 288 рублей, сумма цен всех акций, деленная на их количество, должна равняться 288. С установкой равенства: \[ \frac{S_n}{n} = 288 \] Подставляем в уравнение: \[ S_n = 288n \] Однако, мы будем считать, что сумма, посчитанная акционером, имеет округление и нам нужно проверить правильность вычислений.
Теперь, акционер купил еще одну акцию за 500 рублей. Теперь количество акций стало \( n + 1 \), а сумма цен стала \( S + 500 \).
Считаем новую среднюю цену: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{S + 500}{n + 1} \] Возьмем за условие, что новая средняя цена не достигала 320 рублей: \[ \frac{S + 500}{n + 1} < 320 \]
Учитываем выражение для суммы: Запишем первоначальное выражение: \[ S = 288n \implies \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \] Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (учитывая, что \( n + 1 \) положительно): \[ 288n + 500 < 320(n + 1) \] Раскроем скобки: \[ 288n + 500 < 320n + 320 \] Переносим все влево: \[ 500 - 320 < 320n - 288n \] Приведем подобные: \[ 180 < 32n \] Делим обе стороны на 32: \[ n > \frac{180}{32} \approx 5.625 \]
Так как количество акций \( n \) должно быть целым числом, то наименьшее значение для \( n \) – это 6.
Итак, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, составляет 6 акций.
