Для решения этой задачи нам нужно понять, как работает средняя арифметическая и как добавления новых элементов влияют на неё.
Давайте обозначим количество акций до покупки последней акции как ( n ). Известно, что у акционера были акции с ценами 100, 200, 300, 400 и 500 рублей. Сначала найдем среднее значение цен этих акций.
Считаем сумму цен акций:
[
S = 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 \text{ рублей}
]
Находим количество акций:
[
n = 5
]
Находим среднюю цену акций:
[
\text{Средняя цена} = \frac{S}{n} = \frac{1500}{5} = 300 \text{ рублей}
]
Мы знаем, что средняя цена по факту составляет 288 рублей с копейками, это значит, что акционер по каким-то причинам неправильно посчитал.
Для того чтобы средняя цена была 288 рублей, сумма цен всех акций, деленная на их количество, должна равняться 288. С установкой равенства:
[
\frac{S_n}{n} = 288
]
Подставляем в уравнение:
[
S_n = 288n
]
Однако, мы будем считать, что сумма, посчитанная акционером, имеет округление и нам нужно проверить правильность вычислений.
Теперь, акционер купил еще одну акцию за 500 рублей. Теперь количество акций стало ( n + 1 ), а сумма цен стала ( S + 500 ).
Считаем новую среднюю цену:
[
\text{Новая средняя цена} = \frac{S + 500}{n + 1}
]
Возьмем за условие, что новая средняя цена не достигала 320 рублей:
[
\frac{S + 500}{n + 1} < 320
]
Учитываем выражение для суммы:
Запишем первоначальное выражение:
[
S = 288n \implies \frac{288n + 500}{n + 1} < 320
]
Умножим обе стороны на ( n + 1 ) (учитывая, что ( n + 1 ) положительно):
[
288n + 500 < 320(n + 1)
]
Раскроем скобки:
[
288n + 500 < 320n + 320
]
Переносим все влево:
[
500 - 320 < 320n - 288n
]
Приведем подобные:
[
180 < 32n
]
Делим обе стороны на 32:
[
n > \frac{180}{32} \approx 5.625
]
Так как количество акций ( n ) должно быть целым числом, то наименьшее значение для ( n ) – это 6.
Итак, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, составляет 6 акций.
