Стороны правильного треугольника АВС равны 2√7. найдите квадрат длины вектора АВ-ВС
Для решения данной задачи, давайте сначала обозначим важные составляющие:
- У нас есть правильный треугольник ABC, где все стороны равны 2√7.
- Мы ищем квадрат длины вектора, который будет равен разности векторов AB и BC (то есть нам нужно найти длинну вектора AB - BC).
Шаг 1: Определение координат точек
В правильном треугольнике ABC, расположим точки следующим образом для удобства:
- Пусть точка A будет в координатах (0, 0).
- Точка B находится на расстоянии 2√7 от точки A, поэтому у неё координаты (2√7, 0).
- Точка C, чтобы сохранить равносторонность, будет находиться на расстоянии 2√7 от обеих точек A и B.
Мы можем вычислить координаты точки C, используя свойства равностороннего треугольника:
Чтобы вычислить координаты точки C, воспользуемся формулами для координат в равностороннем треугольнике:
- X координата C = (B_x + 1/2 * A_x) = 2√7 + 1/2 * 0 = √7,
- Y координата C = (B_y + (√3)/2 * длина сторони) = 0 + (√3)/(2)(2√7) = √21.
Таким образом, у нас получится следующая система координат:
- A (0, 0)
- B (2√7, 0)
- C (√7, √21)
Шаг 2: Находим векторы AB и BC
Теперь можем найти векторы AB и BC:
Вектор AB: \[ AB = B - A = (2√7, 0) - (0, 0) = (2√7, 0) \]
Вектор BC: \[ BC = C - B = (√7, √21) - (2√7, 0) = (√7 - 2√7, √21) = (-√7, √21) \]
Шаг 3: Найдем квадрат длины вектора AB - BC
Теперь, чтобы найти квадрат длины вектора AB - BC, сначала вычислим этот вектор:
\[ AB - BC = (2√7, 0) - (-√7, √21) = (2√7 + √7, 0 - √21) = (3√7, -√21) \]
Теперь находим квадрат длины вектора AB - BC:
\[ |AB - BC|^2 = (3√7)^2 + (-√21)^2 = 9 * 7 + 21 = 63 + 21 = 84. \]
Ответ:
Квадрат длины вектора \( AB - BC \) равен 84.
