Для решения этой задачи начнем с обозначения переменных и условий. Обозначим:
- ( a ) — длина прямоугольника
- ( b ) — ширина прямоугольника
По условиям задачи, площадь прямоугольника равна 35 см², что можно выразить как:
[
S = a \cdot b = 35 \quad (1)
]
Также построим квадраты на двух сторонах прямоугольника. Площадь одного квадрата будет ( a^2 ) (на стороне длины), а другого ( b^2 ) (на стороне ширины). Из условия известно, что:
[
a^2 = b^2 + 24 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Начнем с уравнения (2) и выразим одну переменную через другую:
Из уравнения (2) можно выразить ( a^2 ):
[
a^2 = b^2 + 24
]
Теперь, подставим это значение в уравнение (1):
[
\sqrt{b^2 + 24} \cdot b = 35
]
Теперь упростим это уравнение. Сначала возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
[
(b^2 + 24) \cdot b^2 = 35^2
]
Это будет выглядеть так:
[
b^4 + 24b^2 = 1225
]
Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:
[
b^4 + 24b^2 - 1225 = 0
]
Обозначим ( x = b^2 ). Тогда у нас получится биквадратное уравнение:
[
x^2 + 24x - 1225 = 0
]
Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = 24 ), и ( c = -1225 ):
[
x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1225)}}{2 \cdot 1}
]
Считаем дискриминант:
[
24^2 = 576
]
[
-4 \cdot 1 \cdot (-1225) = 4900
]
[
D = 576 + 4900 = 5476
]
Теперь находим ( x ):
[
x = \frac{-24 \pm \sqrt{5476}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{5476} ):
[
\sqrt{5476} = 74
]
Теперь подставляем значение:
[
x = \frac{-24 \pm 74}{2}
]
Находим два значения:
- ( x_1 = \frac{50}{2} = 25 )
- ( x_2 = \frac{-98}{2} = -49 ) (отбрасываем, так как площадь не может быть отрицательной)
Так что ( b^2 = 25 ), следовательно ( b = 5 ).
Теперь найдём ( a ):
Подставим значение ( b ) в уравнение (1):
[
a \cdot 5 = 35 \implies a = \frac{35}{5} = 7
]
Таким образом, мы получили следующие размеры прямоугольника:
- Длина ( a = 7 ) см
- Ширина ( b = 5 ) см
Ответ:
Длина прямоугольника 7 см, ширина 5 см.
