На двух сторонах прямоуголька построены квадраты. Площадь одного из них на 24см² больше площади другого. Найдите длину и ширину прямоуголька, если известно, что его площадь…
На двух сторонах прямоуголька построены квадраты. Площадь одного из них на 24см² больше площади другого. Найдите длину и ширину прямоуголька, если известно, что его площадь составляет 35см².
Для решения этой задачи начнем с обозначения переменных и условий. Обозначим:
- \( a \) — длина прямоугольника
- \( b \) — ширина прямоугольника
По условиям задачи, площадь прямоугольника равна 35 см², что можно выразить как:
\[ S = a \cdot b = 35 \quad (1) \]
Также построим квадраты на двух сторонах прямоугольника. Площадь одного квадрата будет \( a^2 \) (на стороне длины), а другого \( b^2 \) (на стороне ширины). Из условия известно, что:
\[ a^2 = b^2 + 24 \quad (2) \]
Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Начнем с уравнения (2) и выразим одну переменную через другую:
Из уравнения (2) можно выразить \( a^2 \):
\[ a^2 = b^2 + 24 \]
Теперь, подставим это значение в уравнение (1):
\[ \sqrt{b^2 + 24} \cdot b = 35 \]
Теперь упростим это уравнение. Сначала возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\[ (b^2 + 24) \cdot b^2 = 35^2 \]
Это будет выглядеть так:
\[ b^4 + 24b^2 = 1225 \]
Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:
\[ b^4 + 24b^2 - 1225 = 0 \]
Обозначим \( x = b^2 \). Тогда у нас получится биквадратное уравнение:
\[ x^2 + 24x - 1225 = 0 \]
Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 24 \), и \( c = -1225 \):
\[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1225)}}{2 \cdot 1} \]
Считаем дискриминант:
\[ 24^2 = 576 \] \[ -4 \cdot 1 \cdot (-1225) = 4900 \] \[ D = 576 + 4900 = 5476 \]
Теперь находим \( x \):
\[ x = \frac{-24 \pm \sqrt{5476}}{2} \]
Вычислим \( \sqrt{5476} \):
\[ \sqrt{5476} = 74 \]
Теперь подставляем значение:
\[ x = \frac{-24 \pm 74}{2} \]
Находим два значения:
- \( x_1 = \frac{50}{2} = 25 \)
- \( x_2 = \frac{-98}{2} = -49 \) (отбрасываем, так как площадь не может быть отрицательной)
Так что \( b^2 = 25 \), следовательно \( b = 5 \).
Теперь найдём \( a \):
Подставим значение \( b \) в уравнение (1):
\[ a \cdot 5 = 35 \implies a = \frac{35}{5} = 7 \]
Таким образом, мы получили следующие размеры прямоугольника:
- Длина \( a = 7 \) см
- Ширина \( b = 5 \) см
Ответ: Длина прямоугольника 7 см, ширина 5 см.
