Для решения этой задачи нам понадобятся следующие формулы, связанные с периодом колебаний пружинного маятника.
Формула для нахождения периода колебаний
Период колебаний ( T ) пружинного маятника определяется по формуле:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( m ) — масса объекта,
- ( k ) — жёсткость пружины.
Дано:
- Первоначальная жёсткость пружины ( k_1 = 30 , \text{Н/м} )
- Первоначальная масса объекта ( m_1 = 400 , \text{г} = 0.4 , \text{кг} )
- После изменений:
- Масса уменьшена в 2 раза: ( m_2 = \frac{m_1}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 , \text{кг} )
- Жёсткость уменьшена в 7 раз: ( k_2 = \frac{k_1}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.29 , \text{Н/м} )
Нахождение первоначального периода
Сначала найдем первоначальный период колебаний ( T_1 ):
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.4}{30}}
]
Теперь расчитаем:
- ( \frac{0.4}{30} \approx 0.01333 )
- ( \sqrt{0.01333} \approx 0.1155 )
- ( 2\pi \approx 6.28 )
Следовательно,
[
T_1 \approx 6.28 \times 0.1155 \approx 0.726 , \text{с}
]
Нахождение нового периода
Теперь найдем новый период колебаний ( T_2 ):
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{4.29}}
]
Посчитаем:
- ( \frac{0.2}{4.29} \approx 0.0466 )
- ( \sqrt{0.0466} \approx 0.216 )
- ( 2\pi \approx 6.28 )
Следовательно,
[
T_2 \approx 6.28 \times 0.216 \approx 1.356 , \text{с}
]
Изменение периода
Теперь находим величину изменения периода:
[
\Delta T = T_2 - T_1 \approx 1.356 - 0.726 \approx 0.630 , \text{с}
]
Ответ
Итак, величина изменения периода колебаний объекта составляет приблизительно 0.6 с (округлено до десятых).
