Чтобы найти ( f'(3) ), где ( f(x) = \sqrt{6x} - 2 ), сначала нужно найти производную функции ( f(x) ).
Шаг 1: Найдите производную ( f(x) )
Функция ( f(x) = \sqrt{6x} - 2 ) может быть переписана как ( f(x) = (6x)^{1/2} - 2 ).
Производная функции ( f(x) ) с использованием правила дифференцирования степенной функции:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}((6x)^{1/2}) = \frac{1}{2}(6x)^{-1/2} \cdot 6
]
Упростим выражение:
[
f'(x) = 3(6x)^{-1/2}
]
Запишем это как:
[
f'(x) = \frac{3}{\sqrt{6x}}
]
Шаг 2: Подставьте ( x = 3 ) в производную
Теперь подставим ( x = 3 ) в производную:
[
f'(3) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3}} = \frac{3}{\sqrt{18}}
]
Упростим (\sqrt{18}):
[
\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
]
Теперь подставим это в формулу:
[
f'(3) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Обычно результат записывают в виде:
[
f'(3) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Это значение ( f'(3) ).
