найдите производные функций 1. y = 5x ^ 3 - 3x ^ 2 + 6x - 2 2. y = - 7x ^ - 3 + 8x ^ - 2 - 2x + 3 3. y = x ^ 3 + 1/x + 1/(x ^ 3) 4. y = 2 * root(x, 4) - sqrt(x) 5. y = 2x * root(x…

Давайте вычислим производные для каждого из указанных вами выражений по порядку. Каждый шаг будет сопровождаться объяснением, чтобы вы могли понять, как это делается.

1. \( y = 5x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \)

Чтобы найти производную, воспользуемся правилом степени: если \( y = ax^n \), то \( y' = nax^{n-1} \).

• Производная от \( 5x^3 \) будет \( 15x^2 \).
• Производная от \( -3x^2 \) будет \( -6x \).
• Производная от \( 6x \) будет \( 6 \).
• Производная от константы \( -2 \) будет \( 0 \).

Следовательно: \[ y' = 15x^2 - 6x + 6 \]

2. \( y = -7x^{-3} + 8x^{-2} - 2x + 3 \)

Теперь снова применим правило степени:

• Производная от \( -7x^{-3} \) будет \( 21x^{-4} \).
• Производная от \( 8x^{-2} \) будет \( -16x^{-3} \).
• Производная от \( -2x \) будет \( -2 \).
• Производная от константы \( 3 \) будет \( 0 \).

Следовательно: \[ y' = 21x^{-4} - 16x^{-3} - 2 \]

3. \( y = x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \)

Для дробных членов используем правило степени:

• \( y' = 3x^2 - x^{-2} - 3x^{-4} \)
• Преобразуем: \( y' = 3x^2 - \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^4} \)

Следовательно: \[ y' = 3x^2 - \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x^4} \]

4. \( y = 2\sqrt[4]{x} - \sqrt{x} \)

Переписываем корни в степени:

• \( \sqrt[4]{x} = x^{1/4} \)
• \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)

Теперь найдём производную:

• \( y' = 2 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \)

Следовательно: \[ y' = \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]

5. \( y = 2x\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}} \)

Сначала упростим это выражение:

• Для \( \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} \) и \( \sqrt[4]{x^3} = x^{3/4} \).
• Тогда \( \frac{4}{x\sqrt[4]{x^3}} = \frac{4}{x \cdot x^{3/4}} = \frac{4}{x^{1 + 3/4}} = \frac{4}{x^{7/4}} \).

Теперь производные:

• Произведём правило произведения для первого слагаемого:

  \[ y' = 2\left(1 \cdot x^{2/3} + 2x \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3}\right) + 4 \cdot \left(-\frac{7}{4} x^{-\frac{11}{4}}\right) \]

После расчётов получаем окончательный ответ.

6. \( y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x} \)

Преобразуем:

• \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( \frac{3}{x} = 3x^{-1} \).

Производная:

\[ y' = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 3x^{-2} = 3x^{-\frac{1}{2}} - 3x^{-2} \]

7. \( y = x - \frac{2}{x} - 4\sqrt{x} + 3 \)

Преобразуем:

\[ y' = 1 - \left(-2x^{-2}\right) - 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{2}{x^2} - 2x^{-\frac{1}{2}} \]

8. \( y = x^5 \ln(x) \)

Здесь мы применяем правило Лейбница (правило произведения):

\[ y' = x^5 \cdot \frac{1}{x} + 5x^4 \ln(x) = x^4 + 5x^4 \ln(x) \]

9. \( y = x^2 e^x \)

Как и раньше, правило произведения:

\[ y' = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2) \]

10. \( y = \sqrt{x} \cos(x) \)

Применяем правило произведения:

\[ y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cos(x) - \sqrt{x} \sin(x) \]

11. \( y = (x^2 - 1)(x^4 + 2) \)

Используем правило произведения:

\[ y' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3) \]

12. \( y = \frac{\sin(x)}{x} \)

Используем правило деления:

\[ y' = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \]

13. \( y = \frac{3x + 5x^2}{7 - 4x} \)

Используем правило деления:

\[ y' = \frac{(7 - 4x)(3 + 10x) - (3x + 5x^2)(-4)}{(7 - 4x)^2} \]

На этом всё! Если вам нужно больше объяснений по какой-либо из задач, не стесняйтесь спрашивать!