Длина окружности, вписанной в квадрат, равна 5 π 5π . Найди площадь квадрата.

Чтобы найти площадь квадрата, зная длину окружности, вписанной в квадрат, давайте разберёмся по шагам.

1. Формула длины окружности: Длина окружности (C) вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \] где \( r \) — радиус окружности.

2. Соотношение радиуса и стороны квадрата: Вписанная окружность в квадрат касается всех его сторон, и радиус окружности равен половине длины стороны квадрата. Таким образом: \[ r = \frac{s}{2} \] где \( s \) — сторона квадрата.

3. Запишем длину окружности через сторону квадрата: Подставим выражение для \( r \) в формулу длины окружности: \[ C = 2\pi \left( \frac{s}{2} \right) = \pi s \]

4. Равноство длины окружности: Согласно условию задачи, длина окружности равна \( 5\pi \). Следовательно, можем написать уравнение: \[ \pi s = 5\pi \]

5. Решение уравнения: Упростив уравнение (разделив обе стороны на \( \pi \)): \[ s = 5 \]

6. Нахождение площади квадрата: Площадь квадрата (A) вычисляется по формуле: \[ A = s^2 \] Подставим найденное значение стороны: \[ A = 5^2 = 25 \]

Ответ: Площадь квадрата равна 25.

Таким образом, вы узнали, что зная длину вписанной окружности, можно через радиус и стороны квадрата легко находить площадь.