Игорь составляет пятизначные числа, используя цифры девятеричной системы счисления. Сколько различных чисел может составить Игорь, в которых только одна цифра 5 и рядом с ней НЕ…

Для решения этой задачи сгруппируем все необходимые шаги.

Шаг 1: Определим возможности выбора цифр

В девятеричной системе счисления доступны следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Из них мы видим, что четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8, и нечетные цифры — это 1, 3, 5, 7.

Шаг 2: Условия задачи

Игорь должен составить пятизначное число, которое:

• Содержит ровно одну цифру 5.
• Цифра 5 не должна соседствовать с нечётными цифрами (то есть 1, 3, 7).

Шаг 3: Определим позицию цифры 5

В пятизначном числе 5 может занять одну из пяти позиций: 1, 2, 3, 4 или 5. Будем рассматривать все эти варианты.

Позиция 5 в числе:

1. Позиция 1 (первый символ):

   • Следующая позиция 2 не может быть 1, 3, 7 (остаются 0, 2, 4, 6, 8).
   • Возможный выбор 2-й цифры: 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).
   • Остальные 3 позиции могут быть заполнены любыми другими 8 цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8), всего 8 вариантов на позицию.
   • Всего комбинаций: \(5 \times 8^3\).

2. Позиция 2:

   • 1-й символ может быть 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 (т.е. 7 вариантов, так как не может быть 0 или 5).
   • 3-й символ не может быть 1, 3, 7 (остаются 0, 2, 4, 6, 8), т.е. 5 вариантов.
   • Остальные 2 позиции могут быть заполнены 8 цифрами.
   • Всего комбинаций: \(7 \times 5 \times 8^2\).

3. Позиция 3:

   • 1-й символ может быть 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 (то есть 7 вариантов).
   • 2-й символ не может быть 1, 3, 7 (остаются 0, 2, 4, 6, 8), т.е. 5 вариантов.
   • Остальные 2 позиции могут быть заполнены 8 цифрами.
   • Всего комбинаций: \(7 \times 5 \times 8^2\).

4. Позиция 4:

   • 1-й символ может быть 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 (т.е. 7 вариантов).
   • 2-й и 3-й символы не могут быть 1, 3, 7 (остаются 0, 2, 4, 6, 8), т.е. 5 вариантов.
   • Остальные 2 позиции могут быть заполнены 8 цифрами.
   • Всего комбинаций: \(7 \times 5 \times 8^2\).

5. Позиция 5:

   • Аналогично, 1-й символ может быть 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 (т.е. 7 вариантов).
   • 2-й и 3-й символы не могут быть 1, 3, 7 (остаются 0, 2, 4, 6, 8), т.е. 5 вариантов.
   • Остальные 2 позиции могут быть заполнены 8 цифрами.
   • Всего комбинаций: \(7 \times 5 \times 8^2\).

Шаг 4: Итоговое решение

Теперь подведем итоги:

• Для позиции 1: \(5 \times 8^3\)
• Для позиции 2: \(7 \times 5 \times 8^2\)
• Для позиции 3: \(7 \times 5 \times 8^2\)
• Для позиции 4: \(7 \times 5 \times 8^2\)
• Для позиции 5: \(7 \times 5 \times 8^2\)

Теперь можно сложить все варианты: \[ N = 5 \times 8^3 + 4 \times (7 \times 5 \times 8^2) \]

Подсчитаем:

• \(8^3 = 512\)
• \(8^2 = 64\)

Следовательно:

• \(5 \times 512 = 2560\)
• \(4 \times (7 \times 5 \times 64) = 4 \times 35 \times 64 = 8960\)

Теперь вычислим итоговое количество: \[ N = 2560 + 8960 = 11520 \]

Ответ

Игорь может составить 11520 различных пятизначных чисел, в которых только одна цифра 5, и рядом с ней не стоят нечётные цифры.