sin3x*cosx+sinx*cos3x=0

Чтобы решить уравнение \( \sin 3x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos 3x = 0 \), мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и свойствами синуса и косинуса. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Используем формулу для суммы углов

Мы можем воспользоваться формулой: \[ \sin a \cos b + \cos a \sin b = \sin(a + b) \] Здесь, нам нужно немного изменить исходное выражение. Мы можем заметить, что у нас есть два произведения, которые можно представить в форме суммы.

Шаг 2: Упрощение

Преобразуем уравнение: \[ \sin 3x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos 3x = 0 \] Теперь применяем вышеупомянутую формулу: \[ \sin(3x + x) = \sin 4x \] Таким образом, мы можем записать уравнение: \[ \sin 4x = 0 \]

Шаг 3: Решение уравнения

Решение уравнения \( \sin 4x = 0 \) происходит, когда: \[ 4x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] где \( n \) — целое число.

Шаг 4: Изолируем \( x \)

Теперь делим обе стороны на 4: \[ x = \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Шаг 5: Обобщенное решение

Таким образом, общее решение данного уравнения: \[ x = \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Вывод

Мы получили общее решение для уравнения \( \sin 3x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos 3x = 0 \). Это решение можно использовать для нахождения всех значений \( x \), которые удовлетворяют исходному уравнению в зависимости от значения \( n \).