Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоро-стью w=p/6 рад/с. Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t=4 с, больше модуля ее перемещения Dr ?…

Давайте разберем задачу по шагам.

Условия задачи:

• Угловая скорость \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с.
• Время \( t = 4 \) с.
• Начальный угол \( \phi_0 = \frac{\pi}{3} \) рад.

1. Найдем путь \( Ds \), пройденный точкой

Путь, пройденный материальной точкой, движущейся по окружности, можно вычислить по формуле: \[ D_s = r \cdot \Delta \phi \] где \( \Delta \phi \) — угол, на который переместилась точка по времени \( t \).

Сначала найдем значение \( \Delta \phi \): \[ \Delta \phi = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад.} \]

Таким образом, полный угол, на который точка сместилась с учетом начального положения, равен: \[ \phi_{конечный} = \phi_0 + \Delta \phi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \text{ рад.} \]

Теперь, чтобы найти путь \( Ds \), необходимо знать радиус окружности \( r \). В основном, путь пропорционален радиусу \( r \), но так как радиус не указан в задаче, будем считать его равным 1 для простоты вычислений. Если позже окажется, что нужно, можно будет умножить результат на \( r \).

Таким образом, \[ D_s = r \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ длины радиуса.} \]

2. Найдем модуль перемещения \( D_r \)

Перемещение \( D_r \) — это длина прямой линии между начальной и конечной точками, то есть длина хорды, проведённой между этими двумя точками. Чтобы найти эту длину, используем начальный и конечный углы.

Начальная точка будет: \[ (x_0, y_0) = (r \cos(\frac{\pi}{3}), r \sin(\frac{\pi}{3})) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \]

Конечная точка будет: \[ (x_1, y_1) = (r \cos(\pi), r \sin(\pi)) = (-1, 0) \]

Теперь можем найти координаты перемещения: \[ D_r = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} = \sqrt{\left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \] \[ D_r = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3} \]

3. Найдем отношение \( \frac{D_s}{D_r} \)

Теперь, имея значения \( D_s \) и \( D_r \), можем найти искомое отношение: \[ \frac{D_s}{D_r} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \]

Ответ: Путь, пройденный точкой, в \( \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \) раз больше модуля её перемещения.