Давайте разберем задачу по шагам.
Условия задачи:
- Угловая скорость ( \omega = \frac{\pi}{6} ) рад/с.
- Время ( t = 4 ) с.
- Начальный угол ( \phi_0 = \frac{\pi}{3} ) рад.
1. Найдем путь ( Ds ), пройденный точкой
Путь, пройденный материальной точкой, движущейся по окружности, можно вычислить по формуле:
[
D_s = r \cdot \Delta \phi
]
где ( \Delta \phi ) — угол, на который переместилась точка по времени ( t ).
Сначала найдем значение ( \Delta \phi ):
[
\Delta \phi = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад.}
]
Таким образом, полный угол, на который точка сместилась с учетом начального положения, равен:
[
\phi_{конечный} = \phi_0 + \Delta \phi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \text{ рад.}
]
Теперь, чтобы найти путь ( Ds ), необходимо знать радиус окружности ( r ). В основном, путь пропорционален радиусу ( r ), но так как радиус не указан в задаче, будем считать его равным 1 для простоты вычислений. Если позже окажется, что нужно, можно будет умножить результат на ( r ).
Таким образом,
[
D_s = r \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ длины радиуса.}
]
2. Найдем модуль перемещения ( D_r )
Перемещение ( D_r ) — это длина прямой линии между начальной и конечной точками, то есть длина хорды, проведённой между этими двумя точками. Чтобы найти эту длину, используем начальный и конечный углы.
Начальная точка будет:
[
(x_0, y_0) = (r \cos(\frac{\pi}{3}), r \sin(\frac{\pi}{3})) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
]
Конечная точка будет:
[
(x_1, y_1) = (r \cos(\pi), r \sin(\pi)) = (-1, 0)
]
Теперь можем найти координаты перемещения:
[
D_r = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} = \sqrt{\left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}
]
[
D_r = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}
]
3. Найдем отношение ( \frac{D_s}{D_r} )
Теперь, имея значения ( D_s ) и ( D_r ), можем найти искомое отношение:
[
\frac{D_s}{D_r} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}
]
Ответ:
Путь, пройденный точкой, в ( \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} ) раз больше модуля её перемещения.
