Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько выстрелов потребуется для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0,97.
Обозначим:
- ( P_1 = 0.3 ) — вероятность уничтожения цели при первом выстреле;
- ( P_k = 0.6 ) — вероятность уничтожения цели при каждом следующем выстреле после первого.
Шаг 1: Найти вероятность того, что цель не будет уничтожена
Сначала нам нужно определить вероятность того, что цель не будет уничтожена после ( n ) выстрелов. Вероятность уничтожения цели на первом выстреле:
[
P(\text{не убита после 1 выстрела}) = 1 - P_1 = 1 - 0.3 = 0.7.
]
На последующих выстрелах, вероятность неуничтожения цели составит ( 1 - P_k = 1 - 0.6 = 0.4 ).
Таким образом, вероятность того, что цель не будет уничтожена после ( n ) выстрелов можно выразить следующим образом:
[
P(\text{не убита после } n \text{ выстрелов}) = P(\text{не убита после 1}) \cdot P(\text{не убита после }(n-1)\text{ выстрелов}) = 0.7 \cdot (0.4)^{n-1}.
]
Шаг 2: Определить необходимую вероятность
Наша цель — сделать вероятность уничтожения цели на ( n )-м выстреле не менее 0,97. Это означает, что вероятность её неуничтожения должна быть не более 0,03:
[
P(\text{не убита после } n \text{ выстрелов}) \leq 0.03.
]
Шаг 3: Составим уравнение
Подставим полученное выражение:
[
0.7 \cdot (0.4)^{n-1} \leq 0.03.
]
Шаг 4: Решим неравенство
Чтобы упростить решение, сначала разделим обе стороны на 0.7:
[
(0.4)^{n-1} \leq \frac{0.03}{0.7} \approx 0.042857.
]
Теперь применим логарифмы к обеим сторонам:
[
n - 1 \geq \log_{0.4}(0.042857).
]
Определим ( \log_{0.4}(0.042857) ):
Используем изменение основания логарифма:
[
\log_{0.4}(0.042857) = \frac{\log_{10}(0.042857)}{\log_{10}(0.4)}.
]
Теперь можно использовать стандартные значения логарифмов:
- ( \log_{10}(0.042857) \approx -1.366 )
- ( \log_{10}(0.4) \approx -0.398 )
Теперь подставляем значение:
[
\log_{0.4}(0.042857) \approx \frac{-1.366}{-0.398} \approx 3.44.
]
Шаг 5: Находим n
Теперь подставим полученное значение в неравенство:
[
n - 1 \geq 3.44.
]
Добавим 1 к обеим частям:
[
n \geq 4.44.
]
Поскольку количество выстрелов должно быть целым числом, округляем вверх до ближайшего целого числа:
[
n \geq 5.
]
Ответ
Следовательно, потребуется не менее 5 выстрелов, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97.
