При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколько выстрелов потребуется для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0,97.

Обозначим:

• \( P_1 = 0.3 \) — вероятность уничтожения цели при первом выстреле;
• \( P_k = 0.6 \) — вероятность уничтожения цели при каждом следующем выстреле после первого.

Шаг 1: Найти вероятность того, что цель не будет уничтожена

Сначала нам нужно определить вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов. Вероятность уничтожения цели на первом выстреле:

\[ P(\text{не убита после 1 выстрела}) = 1 - P_1 = 1 - 0.3 = 0.7. \]

На последующих выстрелах, вероятность неуничтожения цели составит \( 1 - P_k = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Таким образом, вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов можно выразить следующим образом:

\[ P(\text{не убита после } n \text{ выстрелов}) = P(\text{не убита после 1}) \cdot P(\text{не убита после }(n-1)\text{ выстрелов}) = 0.7 \cdot (0.4)^{n-1}. \]

Шаг 2: Определить необходимую вероятность

Наша цель — сделать вероятность уничтожения цели на \( n \)-м выстреле не менее 0,97. Это означает, что вероятность её неуничтожения должна быть не более 0,03:

\[ P(\text{не убита после } n \text{ выстрелов}) \leq 0.03. \]

Шаг 3: Составим уравнение

Подставим полученное выражение:

\[ 0.7 \cdot (0.4)^{n-1} \leq 0.03. \]

Шаг 4: Решим неравенство

Чтобы упростить решение, сначала разделим обе стороны на 0.7:

\[ (0.4)^{n-1} \leq \frac{0.03}{0.7} \approx 0.042857. \]

Теперь применим логарифмы к обеим сторонам:

\[ n - 1 \geq \log_{0.4}(0.042857). \]

Определим \( \log_{0.4}(0.042857) \):

Используем изменение основания логарифма:

\[ \log_{0.4}(0.042857) = \frac{\log_{10}(0.042857)}{\log_{10}(0.4)}. \]

Теперь можно использовать стандартные значения логарифмов:

• \( \log_{10}(0.042857) \approx -1.366 \)
• \( \log_{10}(0.4) \approx -0.398 \)

Теперь подставляем значение:

\[ \log_{0.4}(0.042857) \approx \frac{-1.366}{-0.398} \approx 3.44. \]

Шаг 5: Находим n

Теперь подставим полученное значение в неравенство:

\[ n - 1 \geq 3.44. \] Добавим 1 к обеим частям:

\[ n \geq 4.44. \]

Поскольку количество выстрелов должно быть целым числом, округляем вверх до ближайшего целого числа:

\[ n \geq 5. \]

Ответ

Следовательно, потребуется не менее 5 выстрелов, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97.