Задумали трёхзначное число, первая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но вторую и третью цифру поменяли местами. Получили…
Задумали трёхзначное число, первая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но вторую и третью цифру поменяли местами. Получили число 63 63. Найди все числа, обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим трёхзначное число.
Пусть трёхзначное число обозначается как \( xyz \), где \( x \) — первая цифра (от 1 до 9), \( y \) — вторая цифра (от 0 до 9), \( z \) — третья цифра (от 0 до 9). Таким образом, число можно записать как: \[ N_1 = 100x + 10y + z \]Запишем число с переставленными цифрами.
Второе число, в котором поменяны местами вторая и третья цифры, будет: \[ N_2 = 100x + 10z + y \]Вычитание.
По условию задачи, если мы вычтем \( N_2 \) из \( N_1 \), то получим 63: \[ N_1 - N_2 = 63 \]Подставим значения \( N_1 \) и \( N_2 \): \[ (100x + 10y + z) - (100x + 10z + y) = 63 \]
Упростим это уравнение: \[ 10y + z - 10z - y = 63 \] \[ 9y - 9z = 63 \] Разделим обе стороны на 9: \[ y - z = 7 \]
Определим возможные значения для \( y \) и \( z \).
У нас есть уравнение \( y - z = 7 \). Это уравнение позволяет найти все пары \( (y, z) \):- Если \( z = 0 \), то \( y = 7 \).
- Если \( z = 1 \), то \( y = 8 \).
- Если \( z = 2 \), то \( y = 9 \).
Пары \( (y, z) \) равные:
- \( (7, 0) \)
- \( (8, 1) \)
- \( (9, 2) \)
Находим трёхзначные числа для каждой пары \( (y, z) \) с учетом \( x \).
Так как \( x \) может принимать значения от 1 до 9, мы можем вычислить все возможные трёхзначные числа.- Для пары \( (y, z) = (7, 0) \): числа будут \( 170, 270, 370, 470, 570, 670, 770, 870, 970 \).
- Для пары \( (y, z) = (8, 1) \): числа будут \( 181, 281, 381, 481, 581, 681, 781, 881, 981 \).
- Для пары \( (y, z) = (9, 2) \): числа будут \( 192, 292, 392, 492, 592, 692, 792, 892, 992 \).
Объединим все возможные числа и отсортируем их.
Числа, которые мы нашли:- \( 170, 270, 370, 470, 570, 670, 770, 870, 970, 181, 281, 381, 481, 581, 681, 781, 881, 981, 192, 292, 392, 492, 592, 692, 792, 892, 992 \)
Отсортируем их по возрастанию: \[ 170;181;192;270;281;292;370;381;392;470;481;492;570;581;592;670;681;692;770;781;792;870;881;892;970;981;992 \]
Это все трёхзначные числа, которые удовлетворяют условию задачи.
