один из углов прямоугольного треугольника равен 60° а сумма гипотенузы и меньше катета равна 18 см. найдите гипотезу и меньший катет
Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.
Определим элементы треугольника: У нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60°. Напоминаем, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Поэтому, если один угол равен 90° (прямой угол), а другой угол равен 60°, тогда третий угол будет равен 30°.
Обозначим стороны треугольника: Пусть:
- \( a \) — меньший катет (противоположный углу 30°),
- \( b \) — больший катет (противоположный углу 60°),
- \( c \) — гипотенуза.
Используем свойства прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° действуют следующие соотношения:
- Меньший катет равен половине гипотенузы: \( a = \frac{c}{2} \).
- Больший катет равен меньшему катету, умноженному на корень из трех: \( b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c}{2} \cdot \sqrt{3} \).
Составим уравнение из условий задачи: Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см: \[ c + a = 18. \] Подставим \( a \) из первого соотношения: \[ c + \frac{c}{2} = 18. \] Это можно переписать следующим образом: \[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 18, \] что упрощается до: \[ \frac{3c}{2} = 18. \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 3c = 36. \] Далее разделим на 3: \[ c = 12. \]
Находим меньший катет: Теперь можем найти меньший катет \( a \): \[ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6. \]
Подытожим: Мы нашли:
- Гипотенза \( c = 12 \) см,
- Меньший катет \( a = 6 \) см.
Таким образом, ответ:
- Гипотенуза: 12 см
- Меньший катет: 6 см
