Один из углов прямоугольного треугольника равен 60° а сумма гипотенузы и меньше катета равна 18 см. найдите гипотезу и меньший катет

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом. 1. **Определим элементы треугольника:** У нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60°. Напоминаем, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°. Поэтому, если один угол равен 90° (прямой угол), а другой угол равен 60°, тогда третий угол будет равен 30°. 2. **Обозначим стороны треугольника:** Пусть: - \( a \) — меньший катет (противоположный углу 30°), - \( b \) — больший катет (противоположный углу 60°), - \( c \) — гипотенуза. 3. **Используем свойства прямоугольного треугольника:** В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° действуют следующие соотношения: - Меньший катет равен половине гипотенузы: \( a = \frac{c}{2} \). - Больший катет равен меньшему катету, умноженному на корень из трех: \( b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c}{2} \cdot \sqrt{3} \). 4. **Составим уравнение из условий задачи:** Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см: \[ c + a = 18. \] Подставим \( a \) из первого соотношения: \[ c + \frac{c}{2} = 18. \] Это можно переписать следующим образом: \[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 18, \] что упрощается до: \[ \frac{3c}{2} = 18. \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 3c = 36. \] Далее разделим на 3: \[ c = 12. \] 5. **Находим меньший катет:** Теперь можем найти меньший катет \( a \): \[ a = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6. \] 6. **Подытожим:** Мы нашли: - Гипотенза \( c = 12 \) см, - Меньший катет \( a = 6 \) см. Таким образом, ответ: - Гипотенуза: 12 см - Меньший катет: 6 см