Давайте решим задачу, в которой один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, и разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см.
Обозначим:
- гипотенузу как ( c ),
- меньший катет как ( a ).
Согласно условию, у нас есть два основных уравнения:
Разность гипотенузы и меньшего катета:
[
c - a = 15 \quad (1)
]
Поскольку один из углов треугольника равен 60 градусов, а другой угол - 90 градусов, оставшийся угол будет равен 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрические соотношения. Для прямоугольного треугольника с углом 30 градусов и катетом, противолежащим этому углу, можно использовать следующее соотношение:
[
\sin(30°) = \frac{a}{c}
]
А поскольку ( \sin(30°) = 0.5 ), мы можем записать:
[
0.5 = \frac{a}{c} \quad (2)
]
Это можно переписать как:
[
a = 0.5c \quad (3)
]
Теперь мы можем подставить уравнение (3) в уравнение (1).
Подставим ( a ) из (3) в (1):
[
c - 0.5c = 15
]
Упростим это уравнение:
[
0.5c = 15
]
Теперь, чтобы найти ( c ), умножим обе стороны уравнения на 2:
[
c = 30
]
Таким образом, длина гипотенузы ( c ) равна 30 см.
Для проверки:
- Найдём длину меньшего катета ( a ):
[
a = 0.5c = 0.5 \times 30 = 15 \text{ см}
]
Теперь проверим разность ( c - a ):
[
30 - 15 = 15 \text{ см}
]
Таким образом, все условия задачи выполнены.
Ответ:
Длина гипотенузы равна 30 см.
