Для решения задачи, давайте разобъем её на несколько шагов и поймем, как действуют силы между дробинками.
Дано:
- Масса каждой дробинки ( m = 5 , \text{г} = 0.005 , \text{кг} )
- Количество добавленных электронов ( N = 4 \times 10^{12} )
- Угол расхождения нити ( \alpha = 90^\circ )
Шаг 1: Определим заряд дробинок
Каждая дробинка приобретает заряд из-за добавленных электронов. Заряд одного электрона составляет ( e \approx 1.6 \times 10^{-19} , \text{Кл} ).
Общий заряд дробинки:
[
q = N \cdot e = 4 \times 10^{12} \cdot 1.6 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^{-7} , \text{Кл}
]
Шаг 2: Рассмотрим силы, действующие на дробинки
Когда дробинки получили одинаковый заряд, они начинают отталкиваться друг от друга. Основные силы, действующие на каждую дробинку:
- Сила тяжести ( F_g = mg )
- Сила электрического отталкивания ( F_e )
Сила тяжести:
[
F_g = mg = 0.005 \times 9.81 \approx 0.04905 , \text{Н}
]
Сила электрического отталкивания между двумя заряженными телами определяется по формуле:
[
F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2}
]
где ( k \approx 8.99 \times 10^9 , \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 ), ( r ) — расстояние между дробинками.
Шаг 3: Определим расстояние между дробинками
При угле ( \alpha = 90^\circ ) расстояние между дробинками ( r ) будет равно ( 2L \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 2L \sin(45^\circ) = 2L \frac{\sqrt{2}}{2} = L \sqrt{2} ).
Таким образом, ( r = L\sqrt{2} ).
Шаг 4: Установим равновесие сил
В равновесии сила отталкивания равна силе тяжести:
[
F_e = F_g
]
Используя выражения для сил:
[
k \frac{q^2}{r^2} = mg
]
Подставляем ( r ):
[
k \frac{q^2}{(L \sqrt{2})^2} = mg
]
Попробуем выразить ( L ):
[
k \frac{q^2}{2L^2} = mg
]
[
L^2 = \frac{k \cdot q^2}{2mg}
]
[
L = \sqrt{\frac{k \cdot q^2}{2mg}}
]
Шаг 5: Подставим известные значения
Теперь подставим значения:
- ( k = 8.99 \times 10^9 , \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 )
- ( q = 6.4 \times 10^{-7} , \text{Кл} )
- ( m = 0.005 , \text{кг} )
- ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 )
Подставляем:
[
L = \sqrt{\frac{8.99 \times 10^9 \cdot (6.4 \times 10^{-7})^2}{2 \cdot 0.005 \cdot 9.81}}
]
Шаг 6: Подсчеты
Выполним расчеты в числовом виде:
[
L = \sqrt{\frac{8.99 \times 10^9 \cdot 4.096 \times 10^{-13}}{0.0981}} \approx \sqrt{\frac{3.68864 \times 10^{-3}}{0.0981}} \approx \sqrt{0.0375} \approx 0.194
]
Ответ
Длина каждой ниточки ( L \approx 0.194 , \text{м} = 19.4 , \text{см} ).
