Две одинаковых металлических дробинки массой по т = 5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L. Когда каждому шарику сообщили количество электронов,…

Для решения задачи, давайте разобъем её на несколько шагов и поймем, как действуют силы между дробинками.

Дано:

• Масса каждой дробинки \( m = 5 \, \text{г} = 0.005 \, \text{кг} \)
• Количество добавленных электронов \( N = 4 \times 10^{12} \)
• Угол расхождения нити \( \alpha = 90^\circ \)

Шаг 1: Определим заряд дробинок

Каждая дробинка приобретает заряд из-за добавленных электронов. Заряд одного электрона составляет \( e \approx 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \).

Общий заряд дробинки: \[ q = N \cdot e = 4 \times 10^{12} \cdot 1.6 \times 10^{-19} = 6.4 \times 10^{-7} \, \text{Кл} \]

Шаг 2: Рассмотрим силы, действующие на дробинки

Когда дробинки получили одинаковый заряд, они начинают отталкиваться друг от друга. Основные силы, действующие на каждую дробинку:

1. Сила тяжести \( F_g = mg \)
2. Сила электрического отталкивания \( F_e \)

Сила тяжести: \[ F_g = mg = 0.005 \times 9.81 \approx 0.04905 \, \text{Н} \]

Сила электрического отталкивания между двумя заряженными телами определяется по формуле: \[ F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \] где \( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 \), \( r \) — расстояние между дробинками.

Шаг 3: Определим расстояние между дробинками

При угле \( \alpha = 90^\circ \) расстояние между дробинками \( r \) будет равно \( 2L \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 2L \sin(45^\circ) = 2L \frac{\sqrt{2}}{2} = L \sqrt{2} \).

Таким образом, \( r = L\sqrt{2} \).

Шаг 4: Установим равновесие сил

В равновесии сила отталкивания равна силе тяжести: \[ F_e = F_g \] Используя выражения для сил: \[ k \frac{q^2}{r^2} = mg \] Подставляем \( r \): \[ k \frac{q^2}{(L \sqrt{2})^2} = mg \] Попробуем выразить \( L \): \[ k \frac{q^2}{2L^2} = mg \] \[ L^2 = \frac{k \cdot q^2}{2mg} \] \[ L = \sqrt{\frac{k \cdot q^2}{2mg}} \]

Шаг 5: Подставим известные значения

Теперь подставим значения:

• \( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{Н m}^2/\text{Кл}^2 \)
• \( q = 6.4 \times 10^{-7} \, \text{Кл} \)
• \( m = 0.005 \, \text{кг} \)
• \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)

Подставляем: \[ L = \sqrt{\frac{8.99 \times 10^9 \cdot (6.4 \times 10^{-7})^2}{2 \cdot 0.005 \cdot 9.81}} \]

Шаг 6: Подсчеты

Выполним расчеты в числовом виде: \[ L = \sqrt{\frac{8.99 \times 10^9 \cdot 4.096 \times 10^{-13}}{0.0981}} \approx \sqrt{\frac{3.68864 \times 10^{-3}}{0.0981}} \approx \sqrt{0.0375} \approx 0.194 \]

Ответ

Длина каждой ниточки \( L \approx 0.194 \, \text{м} = 19.4 \, \text{см} \).