У Ивана и Петра вместе 980 рублей, а у Петра и Никиты 890 рублей, а у Ивана и Никиты 930 рублей. Сколько рублей у каждого мальчика?

Давайте обозначим количество рублей, которое есть у каждого мальчика:

• Пусть у Ивана — \( x \) рублей.
• Пусть у Петра — \( y \) рублей.
• Пусть у Никиты — \( z \) рублей.

Теперь запишем условия задачи в виде системы уравнений:

1. У Ивана и Петра вместе 980 рублей: \[ x + y = 980 \quad (1) \]

2. У Петра и Никиты вместе 890 рублей: \[ y + z = 890 \quad (2) \]

3. У Ивана и Никиты вместе 930 рублей: \[ x + z = 930 \quad (3) \]

Теперь у нас есть три уравнения. Мы можем решить их по шагам. Начнем с первого уравнения.

Шаг 1: выразим \( y \) из уравнения (1)

Из уравнения (1): \[ y = 980 - x \quad (4) \]

Шаг 2: выразим \( z \) из уравнения (2)

Подставим (4) в уравнение (2): \[ (980 - x) + z = 890 \]

Решаем это уравнение для \( z \): \[ z = 890 - (980 - x) \] \[ z = 890 - 980 + x \] \[ z = x - 90 \quad (5) \]

Шаг 3: подставим \( z \) из (5) в уравнение (3)

Теперь подставим (5) в уравнение (3): \[ x + (x - 90) = 930 \] \[ 2x - 90 = 930 \] Добавим 90 к обеим сторонам: \[ 2x = 1020 \] Разделим на 2: \[ x = 510 \]

Теперь, когда мы нашли значение \( x \) (количество рублей у Ивана), можем найти \( y \) и \( z \).

Шаг 4: подставляем \( x \) в (4) для нахождения \( y \)

Подставляем: \[ y = 980 - 510 \] \[ y = 470 \]

Шаг 5: подставляем \( x \) в (5) для нахождения \( z \)

Подставляем: \[ z = 510 - 90 \] \[ z = 420 \]

Результат

Таким образом, у нас есть результаты для каждого мальчика:

• У Ивана — 510 рублей.
• У Петра — 470 рублей.
• У Никиты — 420 рублей.

Проверка

Давайте проверим, удовлетворяет ли наше решение условиям задачи:

1. \( x + y = 510 + 470 = 980 \) (верно)
2. \( y + z = 470 + 420 = 890 \) (верно)
3. \( x + z = 510 + 420 = 930 \) (верно)

Все уравнения соблюдаются, значит, мы правильно решили задачу.