Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Квант" играет три матча с разными командами. Найдите…

Чтобы решить задачу о вероятности того, что команда "Квант" выиграет жребий ровно два раза из трех матчей, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Давайте разберем шаги решения:

1. Определение параметров

Мы имеем два возможных исхода при каждом броске монеты:

• "Квант" выигрывает жребий (успех).
• "Квант" не выигрывает жребий (неудача).

Предположим, что вероятность успешного исхода (выигрыша жребия) равна 0.5 (при условии честной монеты).

Обозначим:

• \( n \) - общее количество бросков (игр) = 3.
• \( k \) - количество успешных исходов, которые мы ищем = 2.
• \( p \) - вероятность успеха (выигрыша жребия) = 0.5.
• \( q \) - вероятность неудачи = \( 1 - p = 0.5 \).

2. Формула биномиального распределения

Вероятность \( P(X = k) \) в биномиальном распределении вычисляется по формуле:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где \( \binom{n}{k} \) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \]

3. Подстановка значений

Теперь подставим наши значения в формулу:

• \( n = 3 \)
• \( k = 2 \)
• \( p = 0.5 \)
• \( q = 0.5 \)

Сначала найдем биномиальный коэффициент \( \binom{3}{2} \):

\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! (3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (1)} = 3 \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (0.5)^{3-2} \]

Подсчитаем:

\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 \]

\[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \]

Ответ

Вероятность того, что команда "Квант" выиграет жребий ровно два раза из трех матчей, составляет 0.375 или 37.5%.