решить все задания
Давайте разберём каждое задание по порядку.
Задание 1
Условие: Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу.
Решение: Применим теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) — гипотенуза, а \(a\) и \(b\) — катеты.
\[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ c = \sqrt{169} = 13 \]
Ответ: 13 см.
Задание 2
Условие: Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ — 25. Найдите другую сторону прямоугольника.
Решение: Воспользуемся теоремой Пифагора для диагонали прямоугольника \(d\), где \(d = 25\), одна сторона \(a = 7\), а другая сторона — \(b\).
\[ 25^2 = 7^2 + b^2 \]
\[ 625 = 49 + b^2 \]
\[ b^2 = 576 \]
\[ b = \sqrt{576} = 24 \]
Ответ: 24.
Задание 3
Условие: Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25, а второй катет равен 15.
Решение: Используем теорему Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Катет \(a = 15\) и гипотенуза \(c = 25\). Найдём другой катет \(b\).
\[ 25^2 = 15^2 + b^2 \]
\[ 625 = 225 + b^2 \]
\[ b^2 = 400 \]
\[ b = \sqrt{400} = 20 \]
Ответ: 20.
Задание 4
Условие: Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
Решение: Основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \]
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]
\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Ответ: \(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\).
Задание 5
Условие: Найдите тангенс угла \(A\) треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\), если \(BC = 8\), \(AB = 17\).
Решение: Для прямоугольного треугольника:
\[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]
Катет \(BC = 8\), гипотенуза \(AB = 17\). Найдём другой катет \(AC\) с помощью теоремы Пифагора.
\[ 17^2 = 8^2 + AC^2 \]
\[ 289 = 64 + AC^2 \]
\[ AC^2 = 225 \]
\[ AC = 15 \]
\[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \]
Ответ: \(\frac{8}{15}\).
Задание 6
Условие: Найдите высоту равнобедренного треугольника, если его сторона равна 17, а основание равно 30.
Решение: Равнобедренный треугольник опускает высоту на основание, разбивая его пополам, поэтому получаем два прямоугольных треугольника. Пусть высота \(h\), основание \(b = 30\), а сторона \(a = 17\).
Для одного из них:
\[ 17^2 = \left(\frac{30}{2}\right)^2 + h^2 \]
\[ 289 = 15^2 + h^2 \]
\[ 289 = 225 + h^2 \]
\[ h^2 = 64 \]
\[ h = 8 \]
Ответ: 8.
Задание 7
Условие: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 5 и 17, а боковая сторона равна 10.
Решение: Равнобедренная трапеция делится высотой на два прямоугольных треугольника. Пусть высота \(h\), средняя линия равна \( \frac{5 + 17}{2} = 11 \).
Основываясь на одном из прямоугольных треугольников, в котором боковая сторона — гипотенуза \(= 10\), а основание \((17-5)/2 = 6\). Используем теорему Пифагора.
\[ 10^2 = 6^2 + h^2 \]
\[ 100 = 36 + h^2 \]
\[ h^2 = 64 \]
\[ h = 8 \]
Площадь трапеции:
\[ S = \frac{1}{2} \times (5 + 17) \times 8 = 88 \]
Ответ: 88.
