Решить все задания

Давайте разберём каждое задание по порядку. ### Задание 1 **Условие:** Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу. **Решение:** Применим теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) — гипотенуза, а \(a\) и \(b\) — катеты. \[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ c = \sqrt{169} = 13 \] **Ответ:** 13 см. --- ### Задание 2 **Условие:** Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ — 25. Найдите другую сторону прямоугольника. **Решение:** Воспользуемся теоремой Пифагора для диагонали прямоугольника \(d\), где \(d = 25\), одна сторона \(a = 7\), а другая сторона — \(b\). \[ 25^2 = 7^2 + b^2 \] \[ 625 = 49 + b^2 \] \[ b^2 = 576 \] \[ b = \sqrt{576} = 24 \] **Ответ:** 24. --- ### Задание 3 **Условие:** Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25, а второй катет равен 15. **Решение:** Используем теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Катет \(a = 15\) и гипотенуза \(c = 25\). Найдём другой катет \(b\). \[ 25^2 = 15^2 + b^2 \] \[ 625 = 225 + b^2 \] \[ b^2 = 400 \] \[ b = \sqrt{400} = 20 \] **Ответ:** 20. --- ### Задание 4 **Условие:** Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\). **Решение:** Основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] **Ответ:** \(\pm \frac{\sqrt{5}}{3}\). --- ### Задание 5 **Условие:** Найдите тангенс угла \(A\) треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\), если \(BC = 8\), \(AB = 17\). **Решение:** Для прямоугольного треугольника: \[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] Катет \(BC = 8\), гипотенуза \(AB = 17\). Найдём другой катет \(AC\) с помощью теоремы Пифагора. \[ 17^2 = 8^2 + AC^2 \] \[ 289 = 64 + AC^2 \] \[ AC^2 = 225 \] \[ AC = 15 \] \[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \] **Ответ:** \(\frac{8}{15}\). --- ### Задание 6 **Условие:** Найдите высоту равнобедренного треугольника, если его сторона равна 17, а основание равно 30. **Решение:** Равнобедренный треугольник опускает высоту на основание, разбивая его пополам, поэтому получаем два прямоугольных треугольника. Пусть высота \(h\), основание \(b = 30\), а сторона \(a = 17\). Для одного из них: \[ 17^2 = \left(\frac{30}{2}\right)^2 + h^2 \] \[ 289 = 15^2 + h^2 \] \[ 289 = 225 + h^2 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = 8 \] **Ответ:** 8. --- ### Задание 7 **Условие:** Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания равны 5 и 17, а боковая сторона равна 10. **Решение:** Равнобедренная трапеция делится высотой на два прямоугольных треугольника. Пусть высота \(h\), средняя линия равна \( \frac{5 + 17}{2} = 11 \). Основываясь на одном из прямоугольных треугольников, в котором боковая сторона — гипотенуза \(= 10\), а основание \((17-5)/2 = 6\). Используем теорему Пифагора. \[ 10^2 = 6^2 + h^2 \] \[ 100 = 36 + h^2 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = 8 \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \times (5 + 17) \times 8 = 88 \] **Ответ:** 88.