В основании тетраэдра SABCSABC лежит равносторонний треугольник ABCABC со стороной 8. Найди градусную меру угла между плоскостями (SAC)(SAC) и (ABC)(ABC), если SA=47SA=47  и ребро SB⊥(ABC)SB⊥(ABC).

Для решения задачи начнем с анализа компонентов тетраэдра и геометрических свойств, связанных с плоскостями и углами. ### Шаг 1: Анализ тетраэдра У нас есть тетраэдр SABC, где: - В основании тетраэдра ABC лежит равносторонний треугольник со стороной 8. - Вершина S находится на высоте 47 над плоскостью ABC. - Ребро SB перпендикулярно плоскости ABC. ### Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC Для равностороннего треугольника с длиной стороны \( a = 8 \) высота \( h \) вычисляется по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Подставим значение: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3} \] ### Шаг 3: Определим координаты вершин треугольника ABC Мы можем задать координаты вершин равностороннего треугольника ABC в 3D пространстве: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(8, 0, 0) \) - Чтобы найти координаты C: \( C(4, 4\sqrt{3}, 0) \) ### Шаг 4: Определим координаты вершины S Так как \( SB \) перпендикулярен плоскости ABC и высота от S до ABC равна 47, координаты вершины S: - \( S(4, 4\sqrt{3}, 47) \) ### Шаг 5: Уравнения плоскостей **Плоскость ABC**: Плоскость задана вершинами A, B и C и имеет уравнение: \[ z = 0 \] (все точки на плоскости имеют z = 0). **Плоскость SAC**: Чтобы найти уравнение плоскости SAC, нужно найти векторы SA и SC: - Вектор \( \vec{SA} = A - S = (0 - 4, 0 - 4\sqrt{3}, 0 - 47) = (-4, -4\sqrt{3}, -47) \) - Вектор \( \vec{SC} = C - S = (4 - 4, 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}, 0 - 47) = (0, 0, -47) \) Теперь для нахождения нормального вектора плоскости SAC воспользуемся векторным произведением: \[ \vec{N} = \vec{SA} \times \vec{SC} \] ### Шаг 6: Вычисление нормального вектора Нормальный вектор \( \vec{N} \): \[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4\sqrt{3} & -47 \\ 0 & 0 & -47 \end{vmatrix} = ( (-4\sqrt{3})(-47) - (0)(-47), 0 - 0, (-4)(0) - (-4)(0) ) = (188\sqrt{3}, 0, 0) \] ### Шаг 7: Определим угол между плоскостями Угол \( \theta \) между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормальных векторов: - Нормальный вектор плоскости ABC: \( \vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1) \) - Нормальный вектор плоскости SAC: \( \vec{n}_{SAC} = (188\sqrt{3}, 0, 0) \) Формула для косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{SAC}}{|\vec{n}_{ABC}| |\vec{n}_{SAC}|} \] - Скалярное произведение \( \vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{SAC} = 0 \) (они перпендикулярны). Так как скалярное произведение равно нулю: \[ \theta = 90^\circ \] ### Ответ Градусная мера угла между плоскостями \( (SAC) \) и \( (ABC) \) равна \( 90^\circ \).