Материальная точка движется прямолинейно по закону S= 4t3-t2+ 15(асстояние измерястся в метрах, время t измерястся в минутах). Найдите скорость точки в момент времени t=2, Тело…

Давайте разберем задачу по шагам и найдем скорость точки в момент времени t = 2, а затем пройденный путь телом до полной остановки.

1. Нахождение скорости точки в момент времени t=2

Сначала у нас есть уравнение для перемещения точки:
\[ S(t) = 4t^3 - t^2 + 15 \]

Чтобы найти скорость точки, нужно найти производную функции перемещения по времени. Скорость \( V(t) \) равна производной \( S(t) \):

\[ V(t) = \frac{dS}{dt} \]

Посчитаем производную:

\[ \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3) - \frac{d}{dt}(t^2) + \frac{d}{dt}(15) \]

Теперь взорвем производные по отдельности:

1. \( \frac{d}{dt}(4t^3) = 12t^2 \)
2. \( \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \)
3. \( \frac{d}{dt}(15) = 0 \)

Соберем всё вместе:
\[ V(t) = 12t^2 - 2t \]

Теперь подставим \( t = 2 \):

\[ V(2) = 12(2^2) - 2(2) = 12 \cdot 4 - 4 = 48 - 4 = 44 \text{ м/мин} \]

Таким образом, скорость точки в момент времени \( t = 2 \) минуты равна \( 44 \) м/мин.

2. Нахождение пройденного пути до полной остановки

Теперь у нас есть другая функция S:

\[ S(t) = 32 - 12t + 23 \]

Давайте упростим её:

\[ S(t) = 55 - 12t \]

Чтобы найти скорость, нужно снова взять производную:

\[ V(t) = \frac{dS}{dt} = -12 \]

Так как скорость постоянна и равна \(-12\) м/с, точка движется с постоянным ускорением. Чтобы найти время, через которое тело остановится, мы поставим скорость в ноль (но тут нужно внимательнее отнестись, так как скорость не меняется и будет оставаться \(-12\)).

Судя по уравнению S(t), когда тело достигнет остановки (когда \( V(t) = 0 \)), это будет только тогда, когда \( S(t) = 0 \) (если бы у нас был уравнение по времени для конечного движения).

Однако, так как это уравнение предполагает, что движение продолжится до тех пор, пока \( S(t) > 0 \), поэтому мы найдем, когда \( S(t) = 0 \):

\[ 55 - 12t = 0 \quad \Rightarrow \quad 12t = 55 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{55}{12} \approx 4.583 \text{ секунды} \]

Теперь найдем пройденный путь:

\[ S_{пройденный} = S(t) = 55 - 12 \cdot \frac{55}{12} = 0 \]

Таким образом, тело пройдет весь путь от его начальной точки до полного остановки, что равно \( 55 \) метрам перед тем, как \( S(t) \) достигнет 0.

Подводя итог

1. Скорость точки в момент времени \( t=2 \) равна \( 44 \) м/мин.
2. Пройденный путь телом до полной остановки составляет \( 55 \) метров.