Материальная точка движется прямолинейно по закону S= 4t3-t2+ 15(асстояние измерястся в метрах, время t измерястся в минутах). Найдите скорость точки в момент времени t=2, Тело движется по прямой так, что расстоянне S (выраженное в метрах) ог начальной точки изменяется по закону $= 32-12t +23, где t- время движения в сскундах. Найдите пройденный путь телом до полной остановки.

Давайте разберем задачу по шагам и найдем скорость точки в момент времени t = 2, а затем пройденный путь телом до полной остановки. ### 1. Нахождение скорости точки в момент времени t=2 Сначала у нас есть уравнение для перемещения точки: \[ S(t) = 4t^3 - t^2 + 15 \] Чтобы найти скорость точки, нужно найти производную функции перемещения по времени. Скорость \( V(t) \) равна производной \( S(t) \): \[ V(t) = \frac{dS}{dt} \] Посчитаем производную: \[ \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3) - \frac{d}{dt}(t^2) + \frac{d}{dt}(15) \] Теперь взорвем производные по отдельности: 1. \( \frac{d}{dt}(4t^3) = 12t^2 \) 2. \( \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \) 3. \( \frac{d}{dt}(15) = 0 \) Соберем всё вместе: \[ V(t) = 12t^2 - 2t \] Теперь подставим \( t = 2 \): \[ V(2) = 12(2^2) - 2(2) = 12 \cdot 4 - 4 = 48 - 4 = 44 \text{ м/мин} \] Таким образом, скорость точки в момент времени \( t = 2 \) минуты равна \( 44 \) м/мин. ### 2. Нахождение пройденного пути до полной остановки Теперь у нас есть другая функция S: \[ S(t) = 32 - 12t + 23 \] Давайте упростим её: \[ S(t) = 55 - 12t \] Чтобы найти скорость, нужно снова взять производную: \[ V(t) = \frac{dS}{dt} = -12 \] Так как скорость постоянна и равна \(-12\) м/с, точка движется с постоянным ускорением. Чтобы найти время, через которое тело остановится, мы поставим скорость в ноль (но тут нужно внимательнее отнестись, так как скорость не меняется и будет оставаться \(-12\)). Судя по уравнению S(t), когда тело достигнет остановки (когда \( V(t) = 0 \)), это будет только тогда, когда \( S(t) = 0 \) (если бы у нас был уравнение по времени для конечного движения). Однако, так как это уравнение предполагает, что движение продолжится до тех пор, пока \( S(t) > 0 \), поэтому мы найдем, когда \( S(t) = 0 \): \[ 55 - 12t = 0 \quad \Rightarrow \quad 12t = 55 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{55}{12} \approx 4.583 \text{ секунды} \] Теперь найдем пройденный путь: \[ S_{пройденный} = S(t) = 55 - 12 \cdot \frac{55}{12} = 0 \] Таким образом, тело пройдет весь путь от его начальной точки до полного остановки, что равно \( 55 \) метрам перед тем, как \( S(t) \) достигнет 0. ### Подводя итог 1. Скорость точки в момент времени \( t=2 \) равна \( 44 \) м/мин. 2. Пройденный путь телом до полной остановки составляет \( 55 \) метров.