Чтобы найти номер первого положительного члена данной арифметической прогрессии, сначала мы запишем формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так:
[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]
где:
- ( a_n ) — n-й член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии (в данном случае ( a_1 = -522 )),
- ( d ) — разность прогрессии (в данном случае ( d = 13 )),
- ( n ) — номер члена прогрессии.
Мы ищем первый положительный член, следовательно, нам нужно найти минимальное значение ( n ), для которого ( a_n > 0 ).
Подставим известные значения в формулу:
[ a_n = -522 + (n-1) \cdot 13 > 0 ]
Теперь упростим неравенство:
- Раскроем скобки:
[ a_n = -522 + 13n - 13 > 0 ]
- Упрощаем выражение:
[ 13n - 535 > 0 ]
- Переносим -535 в правую часть:
[ 13n > 535 ]
- Делим обе стороны на 13:
[ n > \frac{535}{13} ]
Теперь вычислим ( \frac{535}{13} ):
[ \frac{535}{13} = 41.1538 \ldots ]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого, то есть ( n = 42 ).
Следовательно, номер первого положительного члена арифметической прогрессии — это 42.
Теперь можем проверить:
Подставим ( n = 42 ) обратно в формулу для проверки:
[ a_{42} = -522 + (42 - 1) \cdot 13 ]
[ a_{42} = -522 + 41 \cdot 13 ]
[ a_{41} = -522 + 533 = 11 ] (положительное значение)
Таким образом, первый положительный член прогрессии имеет номер 42.
