Найти двадцать пятый член арифметической прогрессии и сумму первых двадцатипчти членов этой прогрессии,если а1=12,d=-3
Чтобы решить данную задачу, начнем с определения формул для нахождения n-го члена арифметической прогрессии и суммы первых n членов.
1. Нахождение n-го члена арифметической прогрессии
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
где:
- \(a_n\) — n-й член прогрессии,
- \(a_1\) — первый член прогрессии,
- \(d\) — разность прогрессии,
- \(n\) — порядковый номер члена.
В нашей задаче:
- \(a_1 = 12\)
- \(d = -3\)
- \(n = 25\)
Теперь подставим известные значения в формулу:
\[ a_{25} = 12 + (25 - 1) \cdot (-3) \]
Рассчитаем \(a_{25}\):
\[ a_{25} = 12 + (24) \cdot (-3) \] \[ = 12 - 72 \] \[ = -60 \]
Итак, 25-й член этой арифметической прогрессии равен \(-60\).
2. Нахождение суммы первых n членов арифметической прогрессии
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
В данном случае нам нужно найти сумму первых 25 членов, то есть \(S_{25}\). Подставим известные значения:
- \(n = 25\)
- \(a_1 = 12\)
- \(a_{25} = -60\) (мы только что его нашли)
Теперь подставим данные в формулу:
\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (12 + (-60)) \] \[ = \frac{25}{2} \cdot (-48) \]
Теперь вычислим сумму:
\[ = \frac{25 \cdot (-48)}{2} \] \[ = \frac{-1200}{2} \] \[ = -600 \]
Ответ:
- 25-й член арифметической прогрессии: \(-60\)
- Сумма первых 25 членов этой прогрессии: \(-600\)
Таким образом, мы нашли как 25-й член арифметической прогрессии, так и сумму первых 25 членов.
