Чтобы решить данную задачу, начнем с определения формул для нахождения n-го члена арифметической прогрессии и суммы первых n членов.
1. Нахождение n-го члена арифметической прогрессии
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где:
- (a_n) — n-й член прогрессии,
- (a_1) — первый член прогрессии,
- (d) — разность прогрессии,
- (n) — порядковый номер члена.
В нашей задаче:
- (a_1 = 12)
- (d = -3)
- (n = 25)
Теперь подставим известные значения в формулу:
[
a_{25} = 12 + (25 - 1) \cdot (-3)
]
Рассчитаем (a_{25}):
[
a_{25} = 12 + (24) \cdot (-3)
]
[
= 12 - 72
]
[
= -60
]
Итак, 25-й член этой арифметической прогрессии равен (-60).
2. Нахождение суммы первых n членов арифметической прогрессии
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
В данном случае нам нужно найти сумму первых 25 членов, то есть (S_{25}). Подставим известные значения:
- (n = 25)
- (a_1 = 12)
- (a_{25} = -60) (мы только что его нашли)
Теперь подставим данные в формулу:
[
S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (12 + (-60))
]
[
= \frac{25}{2} \cdot (-48)
]
Теперь вычислим сумму:
[
= \frac{25 \cdot (-48)}{2}
]
[
= \frac{-1200}{2}
]
[
= -600
]
Ответ:
- 25-й член арифметической прогрессии: (-60)
- Сумма первых 25 членов этой прогрессии: (-600)
Таким образом, мы нашли как 25-й член арифметической прогрессии, так и сумму первых 25 членов.
