22. Постройте график функции y = ((x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2))/(x^2 - x - 2). При каких значениях t прямая y = t имеет с графиком данной функции одну общую точку?
Для начала давайте разберем, как построить график функции и найти значения \( t \), при которых прямая \( y = t \) касается графика данной функции.
Шаг 1: Упрощение функции
Функция задана следующим образом:
\[ y = \frac{(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 - x - 2} \]
Сначала упростим выражение. Начнем с факторизации всех компонент:
Факторизация числителя:
- \( x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \)
- \( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \)
Таким образом, числитель становится:
\[ (x + 1)(x + 3)(x - 1)(x - 2) \]
Факторизация знаменателя:
- \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \)
Теперь запишем нашу функцию в более упрощенном виде:
\[ y = \frac{(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \]
При \( x \neq -1 \) и \( x \neq 2 \) можно сократить:
\[ y = (x + 3)(x - 1) \]
Шаг 2: Определение одноточечного касания
Для нахождения значений \( t \), при которых прямая \( y = t \) касается графика функции, необходимо определить точки, где функция равна \( t \) и имеет одинаковую производную для нахождения касательной.
Значит, нам нужно решить уравнение:
\[ (x + 3)(x - 1) = t \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x - 3 = t \]
Теперь преобразуем уравнение:
\[ x^2 + 2x - (t + 3) = 0 \]
Шаг 3: Условия касания
Для того чтобы уравнение имело одну общую точку (один корень), его дискриминант должен быть равен нулю:
\[ D = b^2 - 4ac = 0 \]
Где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -(t + 3) \):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(t + 3)) \] \[ D = 4 + 4t + 12 \] \[ D = 4t + 16 \]
Приравняем к нулю для нахождения касательной:
\[ 4t + 16 = 0 \] \[ 4t = -16 \] \[ t = -4 \]
Итог
Таким образом, прямая \( y = t \) имеет одну общую точку с графиком функции при \( t = -4 \).
Если вы будете строить график, то отметьте точку \( y = -4 \) и посмотрите, как прямая касается кривой функции. `
