Для начала давайте разберем, как построить график функции и найти значения ( t ), при которых прямая ( y = t ) касается графика данной функции.
Шаг 1: Упрощение функции
Функция задана следующим образом:
[
y = \frac{(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 - x - 2}
]
Сначала упростим выражение. Начнем с факторизации всех компонент:
Факторизация числителя:
- ( x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) )
- ( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) )
Таким образом, числитель становится:
[
(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x - 2)
]
Факторизация знаменателя:
- ( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) )
Теперь запишем нашу функцию в более упрощенном виде:
[
y = \frac{(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)}
]
При ( x \neq -1 ) и ( x \neq 2 ) можно сократить:
[
y = (x + 3)(x - 1)
]
Шаг 2: Определение одноточечного касания
Для нахождения значений ( t ), при которых прямая ( y = t ) касается графика функции, необходимо определить точки, где функция равна ( t ) и имеет одинаковую производную для нахождения касательной.
Значит, нам нужно решить уравнение:
[
(x + 3)(x - 1) = t
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 2x - 3 = t
]
Теперь преобразуем уравнение:
[
x^2 + 2x - (t + 3) = 0
]
Шаг 3: Условия касания
Для того чтобы уравнение имело одну общую точку (один корень), его дискриминант должен быть равен нулю:
[
D = b^2 - 4ac = 0
]
Где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -(t + 3) ):
[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(t + 3))
]
[
D = 4 + 4t + 12
]
[
D = 4t + 16
]
Приравняем к нулю для нахождения касательной:
[
4t + 16 = 0
]
[
4t = -16
]
[
t = -4
]
Итог
Таким образом, прямая ( y = t ) имеет одну общую точку с графиком функции при ( t = -4 ).
Если вы будете строить график, то отметьте точку ( y = -4 ) и посмотрите, как прямая касается кривой функции. `
