22. Постройте график функции y = ((x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2))/(x^2 - x - 2). При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком данной функции одну общую точку? построение а = 1 вид вверх вершина пересечение со y

Для решения данной задачи нам нужно проанализировать функцию \[ y = \frac{(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 - x - 2} \] и понять, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет касаться графика этой функции. ### Шаг 1: Упрощение функции Первым делом, давайте упростим функцию. 1. Найдем корни многочленов в числителе и знаменателе. **Числитель:** \[ (x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2) \] Найдём корни \( x^2 + 4x + 3 = 0 \): \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \] Теперь найдём корни \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 1, \quad x_4 = 2 \] Таким образом, числитель будет равен нулю, когда \( x = -1, -3, 1, 2 \). **Знаменатель:** \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_5 = 2, \quad x_6 = -1 \] Знаменатель равен нулю в точках \( x = 2 \) и \( x = -1 \), что определяет вырожденные точки функции. Таким образом, эти точки не входят в область определения. ### Шаг 2: Область определения Область определения функции: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \] ### Шаг 3: Находим асимптоты Так как в точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \) функция не определена, необходимо исследовать поведение функции около этих значений. Будем искать вертикальные асимптоты при \( x = -1 \) и \( x = 2 \). ### Шаг 4: Найти значения \( m \) Чтобы прямая \( y = m \) имела одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы уравнение \[ \frac{(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 - x - 2} = m \] имело ровно одно решение. #### Условия касания Для нахождения условий касания: 1. Преобразуем уравнение: \[ (x^2 + 4x + 3)(x^2 - 3x + 2) = m (x^2 - x - 2) \] 2. Это уравнение является четвертой степени, и чтобы гарантировать одно решение, его производная также должна равняться нулю в этой точке пересечения. ### Шаг 5: Найти производную и решить Вам нужно найти первую производную функции и решить уравнение производной, чтобы определить \( m \). Но зачастую это комплексный процесс, поэтому проще будет найти максимум и минимум функции и проследить за пересечением с прямой \( y = m \). ### Шаг 6: Построение графика После выполнения всех необходимых расчетов (определения корней, максимума и минимума), вам будет необходимо построить график функции и провести прямую \( y = m \), чтобы визуально подтвердить касание. ### Заключение К сожалению, для точных результатов необходимо использовать графические инструменты или специализированное программное обеспечение по математике (например, GeoGebra), чтобы построить график и найти значение \( m \), которое соответствует одному общему касательному пересечению.