Простые числа p, q, r, s таковы, чтоp+q=30, q+r=18, r+s=9. Найдите эти числа.

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть 4 простых числа: \( p, q, r, s \), и три уравнения: 1. \( p + q = 30 \) (Уравнение 1) 2. \( q + r = 18 \) (Уравнение 2) 3. \( r + s = 9 \) (Уравнение 3) Давайте попробуем выразить каждое из чисел через одно из них. ### Шаг 1: Выразим \( p \), \( r \) и \( s \) через \( q \) Из Уравнения 1 можем выразить \( p \): \[ p = 30 - q \quad (1) \] Из Уравнения 2 можем выразить \( r \): \[ r = 18 - q \quad (2) \] Из Уравнения 3 можем выразить \( s \): \[ s = 9 - r \quad (3) \] Теперь подставим выражение для \( r \) из Уравнения (2) в выражение для \( s \): \[ s = 9 - (18 - q) = 9 - 18 + q = q - 9 \quad (4) \] ### Шаг 2: Теперь у нас есть все числа через \( q \) Теперь мы имеем: - \( p = 30 - q \) - \( r = 18 - q \) - \( s = q - 9 \) ### Шаг 3: Найдем ограничения для \( q \) Так как \( p, q, r, s \) являются простыми числами, они должны быть положительными. 1. Для \( p = 30 - q > 0 \): \[ 30 - q > 0 \implies q < 30 \] 2. Для \( r = 18 - q > 0 \): \[ 18 - q > 0 \implies q < 18 \] 3. Для \( s = q - 9 > 0 \): \[ q - 9 > 0 \implies q > 9 \] Таким образом, \( q \) должно быть в диапазоне: \[ 9 < q < 18 \] ### Шаг 4: Найдем целые простые числа в этом диапазоне Простые числа между 9 и 18: - 11 - 13 - 17 ### Шаг 5: Проверим каждое значение \( q \) 1. **Если \( q = 11 \)**: - \( p = 30 - 11 = 19 \) (простое) - \( r = 18 - 11 = 7 \) (простое) - \( s = 11 - 9 = 2 \) (простое) Числа: \( p = 19, q = 11, r = 7, s = 2 \) 2. **Если \( q = 13 \)**: - \( p = 30 - 13 = 17 \) (простое) - \( r = 18 - 13 = 5 \) (простое) - \( s = 13 - 9 = 4 \) (непростое) Числа не подходят. 3. **Если \( q = 17 \)**: - \( p = 30 - 17 = 13 \) (простое) - \( r = 18 - 17 = 1 \) (непростое) - \( s = 17 - 9 = 8 \) (непростое) Числа не подходят. ### Шаг 6: Подводим итоги Единственный набор простых чисел: - \( p = 19, q = 11, r = 7, s = 2 \) Таким образом, найденные простые числа: - \( p = 19 \) - \( q = 11 \) - \( r = 7 \) - \( s = 2 \) Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи!