Простые числа p, q, r, s таковы, чтоp+q=30, q+r=18, r+s=9. Найдите эти числа.
Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть 4 простых числа: \( p, q, r, s \), и три уравнения:
- \( p + q = 30 \) (Уравнение 1)
- \( q + r = 18 \) (Уравнение 2)
- \( r + s = 9 \) (Уравнение 3)
Давайте попробуем выразить каждое из чисел через одно из них.
Шаг 1: Выразим \( p \), \( r \) и \( s \) через \( q \)
Из Уравнения 1 можем выразить \( p \):
\[ p = 30 - q \quad (1) \]
Из Уравнения 2 можем выразить \( r \):
\[ r = 18 - q \quad (2) \]
Из Уравнения 3 можем выразить \( s \):
\[ s = 9 - r \quad (3) \]
Теперь подставим выражение для \( r \) из Уравнения (2) в выражение для \( s \):
\[ s = 9 - (18 - q) = 9 - 18 + q = q - 9 \quad (4) \]
Шаг 2: Теперь у нас есть все числа через \( q \)
Теперь мы имеем:
- \( p = 30 - q \)
- \( r = 18 - q \)
- \( s = q - 9 \)
Шаг 3: Найдем ограничения для \( q \)
Так как \( p, q, r, s \) являются простыми числами, они должны быть положительными.
Для \( p = 30 - q > 0 \): \[ 30 - q > 0 \implies q < 30 \]
Для \( r = 18 - q > 0 \): \[ 18 - q > 0 \implies q < 18 \]
Для \( s = q - 9 > 0 \): \[ q - 9 > 0 \implies q > 9 \]
Таким образом, \( q \) должно быть в диапазоне: \[ 9 < q < 18 \]
Шаг 4: Найдем целые простые числа в этом диапазоне
Простые числа между 9 и 18:
- 11
- 13
- 17
Шаг 5: Проверим каждое значение \( q \)
Если \( q = 11 \):
- \( p = 30 - 11 = 19 \) (простое)
- \( r = 18 - 11 = 7 \) (простое)
- \( s = 11 - 9 = 2 \) (простое)
Числа: \( p = 19, q = 11, r = 7, s = 2 \)
Если \( q = 13 \):
- \( p = 30 - 13 = 17 \) (простое)
- \( r = 18 - 13 = 5 \) (простое)
- \( s = 13 - 9 = 4 \) (непростое)
Числа не подходят.
Если \( q = 17 \):
- \( p = 30 - 17 = 13 \) (простое)
- \( r = 18 - 17 = 1 \) (непростое)
- \( s = 17 - 9 = 8 \) (непростое)
Числа не подходят.
Шаг 6: Подводим итоги
Единственный набор простых чисел:
- \( p = 19, q = 11, r = 7, s = 2 \)
Таким образом, найденные простые числа:
- \( p = 19 \)
- \( q = 11 \)
- \( r = 7 \)
- \( s = 2 \)
Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи!
