Чтобы найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины ( X ), относящейся к числу появлений события в 250 независимых испытаниях, где вероятность появления события равна ( p = 0.3 ), мы можем использовать свойства биномиального распределения.
Шаг 1: Параметры биномиального распределения
Пусть ( n = 250 ) — это общее количество испытаний, а ( p = 0.3 ) — вероятность успеха в каждом испытании. Случайная величина ( X ) будет иметь биномиальное распределение, обозначаемое как ( X \sim B(n, p) ).
Шаг 2: Математическое ожидание (Математическое ожидание для биномиального распределения)
Формула для математического ожидания ( E(X) ) биномиальной случайной величины:
[
E(X) = n \cdot p
]
Подставляем значения:
[
E(X) = 250 \cdot 0.3 = 75
]
Шаг 3: Дисперсия (Дисперсия для биномиального распределения)
Формула для дисперсии ( D(X) ):
[
D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Считаем:
[
D(X) = 250 \cdot 0.3 \cdot (1 - 0.3) = 250 \cdot 0.3 \cdot 0.7
]
[
D(X) = 250 \cdot 0.21 = 52.5
]
Шаг 4: Среднеквадратичное отклонение
Среднеквадратичное отклонение ( \sigma ) вычисляется как корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)}
]
Подставляем значение:
[
\sigma = \sqrt{52.5} \approx 7.24
]
Итоговые результаты
- Математическое ожидание (E(X)): ( 75 )
- Дисперсия (D(X)): ( 52.5 )
- Среднеквадратичное отклонение (( \sigma )): ( \approx 7.24 )
Таким образом, для данной задачи:
- Математическое ожидание равно ( 75 ).
- Дисперсия равна ( 52.5 ).
- Среднеквадратичное отклонение составляет приблизительно ( 7.24 ).
