Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х числа появлений события в 250 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность…

Чтобы найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины \( X \), относящейся к числу появлений события в 250 независимых испытаниях, где вероятность появления события равна \( p = 0.3 \), мы можем использовать свойства биномиального распределения.

Шаг 1: Параметры биномиального распределения

Пусть \( n = 250 \) — это общее количество испытаний, а \( p = 0.3 \) — вероятность успеха в каждом испытании. Случайная величина \( X \) будет иметь биномиальное распределение, обозначаемое как \( X \sim B(n, p) \).

Шаг 2: Математическое ожидание (Математическое ожидание для биномиального распределения)

Формула для математического ожидания \( E(X) \) биномиальной случайной величины: \[ E(X) = n \cdot p \]

Подставляем значения: \[ E(X) = 250 \cdot 0.3 = 75 \]

Шаг 3: Дисперсия (Дисперсия для биномиального распределения)

Формула для дисперсии \( D(X) \): \[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Считаем: \[ D(X) = 250 \cdot 0.3 \cdot (1 - 0.3) = 250 \cdot 0.3 \cdot 0.7 \] \[ D(X) = 250 \cdot 0.21 = 52.5 \]

Шаг 4: Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение \( \sigma \) вычисляется как корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} \] Подставляем значение: \[ \sigma = \sqrt{52.5} \approx 7.24 \]

Итоговые результаты

• Математическое ожидание (E(X)): \( 75 \)
• Дисперсия (D(X)): \( 52.5 \)
• Среднеквадратичное отклонение (\( \sigma \)): \( \approx 7.24 \)

Таким образом, для данной задачи:

1. Математическое ожидание равно \( 75 \).
2. Дисперсия равна \( 52.5 \).
3. Среднеквадратичное отклонение составляет приблизительно \( 7.24 \).