В вершинах правильного четырёхугольника со стороной а = 1 а=1 см поочерёдно расположены точечные заряды + Q +Q , + 2 Q +2Q , − Q −Q , − 2 Q −2Q . Какова сила, действующая на заряд…
В вершинах правильного четырёхугольника со стороной а = 1 а=1 см поочерёдно расположены точечные заряды + Q +Q, + 2 Q +2Q, − Q −Q, − 2 Q −2Q. Какова сила, действующая на заряд + Q +Q, находящийся в центре четырёхугольника на пересечении его диагоналей, если Q = 0 , 5 Q=0,5 нКл?
Для решения этой задачи нам нужно использовать закон Кулона, который описывает силу, действующую между электрическими зарядами. Мы рассмотрим все силы, действующие на заряд \( +Q \), находящийся в центре правильного quadrilateral.
Данные и параметры задачи
- Размер стороны квадрата \( a = 1 \) см.
- Заряды в вершинах:
- Вершина 1: \( +Q = +0.5 \) нКл
- Вершина 2: \( +2Q = +1.0 \) нКл
- Вершина 3: \( -Q = -0.5 \) нКл
- Вершина 4: \( -2Q = -1.0 \) нКл
Шаг 1: Определим расстояние от центра до вершин
Так как правильный четырёхугольник является квадратом, расстояние от центра квадрата до его вершин можно найти с помощью теоремы Пифагора. Половина стороны квадрата — это \( \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \) см.
\[ R = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ см} \]
Переведем сантиметры в метры для удобства (так как 1 см = 0.01 м): \[ R = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 0.01 \text{ м} = \frac{0.01}{\sqrt{2}} \text{ м} \approx 0.00707 \text{ м} \]
Шаг 2: Применим закон Кулона
Сила между двумя точечными зарядами определяется как: \[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \] где \( k \) — электрическая постоянная (\( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \)) и \( r \) — расстояние между зарядами.
Мы будем считать силу, действующую на заряд \( +Q \) от каждого из этих четырёх зарядов.
Шаг 3: Рассчитаем силы от каждого заряда
- Сила от заряда \( +Q \) (вершина 1): \[ F_1 = k \cdot \frac{Q \cdot Q}{R^2} \]
- Сила от заряда \( +2Q \) (вершина 2): \[ F_2 = k \cdot \frac{Q \cdot 2Q}{R^2} = 2k \cdot \frac{Q^2}{R^2} \]
- Сила от заряда \( -Q \) (вершина 3): \[ F_3 = k \cdot \frac{Q \cdot (-Q)}{R^2} = -k \cdot \frac{Q^2}{R^2} \]
- Сила от заряда \( -2Q \) (вершина 4): \[ F_4 = k \cdot \frac{Q \cdot (-2Q)}{R^2} = -2k \cdot \frac{Q^2}{R^2} \]
Шаг 4: Найдем результирующую силу
Теперь сложим силы с учетом направлений:
- Сила \( F_1 \) и \( F_2 \) направлены от центра, в то время как сила \( F_3 \) и \( F_4 \) направлены к центру.
Обозначим:
- \( F_1 \) и \( F_2 \) — положительные,
- \( F_3 \) и \( F_4 \) — отрицательные.
Таким образом, результирующая сила будет: \[ F_{\text{рез}} = F_1 + F_2 - F_3 - F_4 = k \cdot \frac{Q^2}{R^2} + 2k \cdot \frac{Q^2}{R^2} - k \cdot \frac{Q^2}{R^2} - 2k \cdot \frac{Q^2}{R^2} \] Соберём все члены: \[ F_{\text{рез}} = (1 + 2 - 1 - 2) k \cdot \frac{Q^2}{R^2} = 0 \]
Заключение
Суммарная сила, действующая на заряд \( +Q \), равна нулю. Это происходит из-за симметричного расположения зарядов и равных по модулю, но противоположных по знаку, векторов силы.
