Известно, что натуральное число n >= 2 даёт остаток 1 при делении на 15. Выберите все числа среди перечисленных, которые могут быть простыми при некотором значении n. n+1 n+2 2n+1…

Чтобы решить задачу, сначала определим, что означает, что натуральное число \( n \) дает остаток 1 при делении на 15. Это можно записать следующим образом:

\[ n \equiv 1 \mod 15 \]

Это значит, что \( n \) можно представить в виде:

\[ n = 15k + 1 \]

где \( k \) — любое натуральное число (включая 0).

Теперь давайте проверим выражения, которые нам даны, и выясним, могут ли они быть простыми числами в зависимости от значения \( n \).

Проверка выражений

1. \( n + 1 \)
   Подставим значение \( n \):

   \[ n + 1 = (15k + 1) + 1 = 15k + 2 \]

   Это число четное, так как \( 15k \) — четное, и если \( k \) — натуральное число, то \( 15k + 2 \) — четное число, кроме случая, когда \( k = 0 \). Если \( k = 0 \), то \( n + 1 = 2 \), что является простым числом. Но для \( k \geq 1 \) это число не может быть простым, так как оно всегда будет делиться на 2. Следовательно, \( n + 1 \) может быть простым, только когда \( n = 1 \) (что не подходит, так как \( n \geq 2 \)).

   Вывод: \( n + 1 \) не может быть простым.

2. \( n + 2 \)
   Подставим значение \( n \):

   \[ n + 2 = (15k + 1) + 2 = 15k + 3 \]

   Это число делится на 3 (так как 3 является фактором 15). Если \( k \geq 1 \), то \( n + 2 \geq 18 \) и обязательно будет составным. Если \( k = 0 \), то \( n + 2 = 3 \), что является простым числом.

   Вывод: \( n + 2 \) может быть простым только для \( k = 0 \) (что в данном случае недействительно при \( n \geq 2 \)). Следовательно, \( n + 2 \) не может быть простым.

3. \( 2n + 1 \)
   Подставим значение \( n \):

   \[ 2n + 1 = 2(15k + 1) + 1 = 30k + 3 \]

   Это число также делится на 3. Если \( k \geq 1 \), то \( 2n + 1 \geq 33 \), и оно не может быть простым. Для \( k = 0 \), \( 2n + 1 = 3 \) — это простое число. Но при \( n \geq 2 \) имеем \( k \geq 0 \), что опять же делает это число составным.

   Вывод: \( 2n + 1 \) также не может быть простым.

4. \( 3n + 2 \)
   Подставим значение \( n \):

   \[ 3n + 2 = 3(15k + 1) + 2 = 45k + 5 \]

   Это число делится на 5. При \( k \geq 1 \), то \( 3n + 2 \geq 50 \) и оно не может быть простым. Но \( k = 0 \) дает нам \( 3n + 2 = 5 \), что является простым числом.

   Вывод: \( 3n + 2 \) не может быть простым при \( n \geq 2 \).

5. \( 4n + 3 \)
   Подставим значение \( n \):

   \[ 4n + 3 = 4(15k + 1) + 3 = 60k + 7 \]

   Если \( k \geq 1 \), то \( 4n + 3 \) будет больше 67 и может быть простым. При \( k = 0 \), \( 4n + 3 = 7 \), что является простым числом.

   Но поскольку \( 60k + 7 \) может производить как простые, так и составные числа, мы можем оставить результат открытым с учетом значений \( k \).

   Вывод: \( 4n + 3 \) может быть простым.

Итогов:

Таким образом, среди предложенных выражений:

• \( n + 1 \): не может быть простым
• \( n + 2 \): не может быть простым
• \( 2n + 1 \): не может быть простым
• \( 3n + 2 \): не может быть простым
• \( 4n + 3 \): может быть простым

Таким образом, единственное выражение, которое может быть простым, — это \( 4n + 3 \) при некоторых значениях \( n \).