Известно, что натуральное число n >= 2 даёт остаток 1 при делении на 15. Выберите все числа среди перечисленных, которые могут быть простыми при некотором значении n. n+1 n+2 2n+1 3n+2 4n+3

Чтобы решить задачу, сначала определим, что означает, что натуральное число \( n \) дает остаток 1 при делении на 15. Это можно записать следующим образом: \[ n \equiv 1 \mod 15 \] Это значит, что \( n \) можно представить в виде: \[ n = 15k + 1 \] где \( k \) — любое натуральное число (включая 0). Теперь давайте проверим выражения, которые нам даны, и выясним, могут ли они быть простыми числами в зависимости от значения \( n \). ### Проверка выражений 1. **\( n + 1 \)** Подставим значение \( n \): \[ n + 1 = (15k + 1) + 1 = 15k + 2 \] Это число четное, так как \( 15k \) — четное, и если \( k \) — натуральное число, то \( 15k + 2 \) — четное число, кроме случая, когда \( k = 0 \). Если \( k = 0 \), то \( n + 1 = 2 \), что является простым числом. Но для \( k \geq 1 \) это число не может быть простым, так как оно всегда будет делиться на 2. Следовательно, \( n + 1 \) может быть простым, только когда \( n = 1 \) (что не подходит, так как \( n \geq 2 \)). **Вывод: \( n + 1 \) не может быть простым.** 2. **\( n + 2 \)** Подставим значение \( n \): \[ n + 2 = (15k + 1) + 2 = 15k + 3 \] Это число делится на 3 (так как 3 является фактором 15). Если \( k \geq 1 \), то \( n + 2 \geq 18 \) и обязательно будет составным. Если \( k = 0 \), то \( n + 2 = 3 \), что является простым числом. **Вывод: \( n + 2 \) может быть простым только для \( k = 0 \) (что в данном случае недействительно при \( n \geq 2 \)). Следовательно, \( n + 2 \) не может быть простым.** 3. **\( 2n + 1 \)** Подставим значение \( n \): \[ 2n + 1 = 2(15k + 1) + 1 = 30k + 3 \] Это число также делится на 3. Если \( k \geq 1 \), то \( 2n + 1 \geq 33 \), и оно не может быть простым. Для \( k = 0 \), \( 2n + 1 = 3 \) — это простое число. Но при \( n \geq 2 \) имеем \( k \geq 0 \), что опять же делает это число составным. **Вывод: \( 2n + 1 \) также не может быть простым.** 4. **\( 3n + 2 \)** Подставим значение \( n \): \[ 3n + 2 = 3(15k + 1) + 2 = 45k + 5 \] Это число делится на 5. При \( k \geq 1 \), то \( 3n + 2 \geq 50 \) и оно не может быть простым. Но \( k = 0 \) дает нам \( 3n + 2 = 5 \), что является простым числом. **Вывод: \( 3n + 2 \) не может быть простым при \( n \geq 2 \).** 5. **\( 4n + 3 \)** Подставим значение \( n \): \[ 4n + 3 = 4(15k + 1) + 3 = 60k + 7 \] Если \( k \geq 1 \), то \( 4n + 3 \) будет больше 67 и может быть простым. При \( k = 0 \), \( 4n + 3 = 7 \), что является простым числом. Но поскольку \( 60k + 7 \) может производить как простые, так и составные числа, мы можем оставить результат открытым с учетом значений \( k \). **Вывод: \( 4n + 3 \) может быть простым.** ### Итогов: Таким образом, среди предложенных выражений: - **\( n + 1 \):** не может быть простым - **\( n + 2 \):** не может быть простым - **\( 2n + 1 \):** не может быть простым - **\( 3n + 2 \):** не может быть простым - **\( 4n + 3 \):** может быть простым Таким образом, единственное выражение, которое может быть простым, — это **\( 4n + 3 \)** при некоторых значениях \( n \).