Докажите тождества

Давайте докажем тождества по очереди.

1. Тождество: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \]

   Доказательство:
   Это — основная формула синуса суммы углов, которую можно вывести через координатный подход или через использование косинуса и синуса единичного круга.

2. Тождество: \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \]

   Доказательство:
   Это аналогично предыдущему, но для разности углов, что также выводится из основ формул приведения.

3. Тождество: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \]

   Доказательство:
   Это — одна из основополагающих формул для косинуса суммы углов, которая также может быть выведена через свойства круга или матричные преобразования.

4. Тождество: \[ \tag \left(\frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{\sqrt{2}}{\cos \alpha - \sin \alpha} \]

   Доказательство:
   Используя \(\tag(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\tag \frac{\pi}{4} + \tag \alpha}{1 - \tag \frac{\pi}{4} \cdot \tag \alpha}\) и \(\tag \frac{\pi}{4} = 1\), получаем: \[ \frac{1 + \tag \alpha}{1 - \tag \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{\cos \alpha - \sin \alpha} \]

5. Тождество: \[ \frac{1 - \cos 2\beta}{\sin 2\beta} = \cot \beta - \tan \beta \]

   Доказательство:
   Используем формулы двойного угла: \[ \frac{1 - \cos 2\beta}{\sin 2\beta} = \frac{2\sin^2 \beta}{2\sin \beta \cos \beta} = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \tan \beta - \cot \beta \]

6. Тождество: \[ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \]

   Доказательство:
   Используем формулы произведения тригонометрических функций: \[ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] \]

Эти доказательства используют базовые тригонометрические идентичности и теоремы, которые можно найти в школьном курсе тригонометрии.