Точка М(7; -5) принадлежит окружности, а точка N( 4;3) - центр этой окружности. Составьте уравнение окружности.
Чтобы найти уравнение окружности, воспользуемся формулой уравнения окружности в декартовой системе координат. Уравнение окружности с центром в точке \( N(x_0, y_0) \) и радиусом \( r \) записывается в следующем виде:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Где:
- \( (x_0, y_0) \) — координаты центра окружности,
- \( r \) — радиус окружности.
В данной задаче:
- Центр окружности \( N(4, 3) \): \( x_0 = 4 \) и \( y_0 = 3 \).
- Точка \( M(7, -5) \) — это точка на окружности.
Шаг 1: Найдем радиус окружности
Радиус окружности можно найти как расстояние между центром окружности \( N \) и любой точкой на окружности, в данном случае, точкой \( M \). Формула для расчета расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) выглядит так:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставим наш центр \( N(4, 3) \) и точку \( M(7, -5) \):
\[ r = \sqrt{(7 - 4)^2 + (-5 - 3)^2} \]
Шаг 2: Посчитаем
Вычислим \( (7 - 4)^2 \): \[ (7 - 4)^2 = 3^2 = 9 \]
Вычислим \( (-5 - 3)^2 \): \[ (-5 - 3)^2 = (-8)^2 = 64 \]
Теперь подставим эти значения в формулу расстояния: \[ r = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \]
Шаг 3: Составим уравнение окружности
Теперь мы знаем, что \( r = \sqrt{73} \). Подставим значения \( x_0 = 4 \), \( y_0 = 3 \), и \( r^2 = 73 \) в общее уравнение окружности:
\[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 73 \]
Это и есть уравнение окружности, которая имеет центр в точке \( N(4, 3) \) и проходит через точку \( M(7, -5) \).
Ответ:
\[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 73 \]
