Найдите пятый член арифметической прогрессии, если её второй член равен 2 + √3 а шестой равен 6 - 3√3
Для решения этой задачи начнем с определения свойств арифметической прогрессии (АП).
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность соседних членов является постоянной. Пусть разность прогрессии равна \(d\), а первый член равен \(a_1\). Тогда мы можем обозначить члены прогрессии так:
- Второй член: \(a_2 = a_1 + d\)
- Шестой член: \(a_6 = a_1 + 5d\)
По условию задачи мы знаем:
- \(a_2 = 2 + \sqrt{3}\)
- \(a_6 = 6 - 3\sqrt{3}\)
Теперь подставим информацию по членам прогрессии в наши уравнения:
\[ a_2 = a_1 + d = 2 + \sqrt{3} \tag{1} \]
\[ a_6 = a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \tag{2} \]
Теперь мы можем выразить \(d\) из (1):
\[ d = (2 + \sqrt{3}) - a_1 \tag{3} \]
Теперь подставим (3) в (2):
\[ a_1 + 5((2 + \sqrt{3}) - a_1) = 6 - 3\sqrt{3} \]
Раскроем скобки:
\[ a_1 + 10 + 5\sqrt{3} - 5a_1 = 6 - 3\sqrt{3} \]
Сложим подобные:
\[ -4a_1 + 10 + 5\sqrt{3} = 6 - 3\sqrt{3} \]
Теперь перенесем все в одну сторону:
\[ -4a_1 = 6 - 3\sqrt{3} - 10 - 5\sqrt{3} \]
Упростим правую часть:
\[ -4a_1 = -4 - 8\sqrt{3} \]
Теперь разделим обе стороны на \(-4\):
\[ a_1 = 1 + 2\sqrt{3} \]
Теперь мы нашли первый член \(a_1\). Теперь найдем разность \(d\) с помощью (3):
\[ d = (2 + \sqrt{3}) - (1 + 2\sqrt{3}) \]
Упростим:
\[ d = 2 + \sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{3} = 1 - \sqrt{3} \]
Теперь мы нашли первый член \(a_1\) и разность \(d\). Теперь можем найти пятый член \(a_5\):
\[ a_5 = a_1 + 4d \]
Подставим найденные значения:
\[ a_5 = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3}) \]
Теперь раскроем скобки и упростим:
\[ a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} = 5 - 2\sqrt{3} \]
Итак, пятый член арифметической прогрессии равен \(5 - 2\sqrt{3}\).
