Для решения этой задачи начнем с определения свойств арифметической прогрессии (АП).
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность соседних членов является постоянной. Пусть разность прогрессии равна (d), а первый член равен (a_1). Тогда мы можем обозначить члены прогрессии так:
- Второй член: (a_2 = a_1 + d)
- Шестой член: (a_6 = a_1 + 5d)
По условию задачи мы знаем:
- (a_2 = 2 + \sqrt{3})
- (a_6 = 6 - 3\sqrt{3})
Теперь подставим информацию по членам прогрессии в наши уравнения:
[
a_2 = a_1 + d = 2 + \sqrt{3} \tag{1}
]
[
a_6 = a_1 + 5d = 6 - 3\sqrt{3} \tag{2}
]
Теперь мы можем выразить (d) из (1):
[
d = (2 + \sqrt{3}) - a_1 \tag{3}
]
Теперь подставим (3) в (2):
[
a_1 + 5((2 + \sqrt{3}) - a_1) = 6 - 3\sqrt{3}
]
Раскроем скобки:
[
a_1 + 10 + 5\sqrt{3} - 5a_1 = 6 - 3\sqrt{3}
]
Сложим подобные:
[
-4a_1 + 10 + 5\sqrt{3} = 6 - 3\sqrt{3}
]
Теперь перенесем все в одну сторону:
[
-4a_1 = 6 - 3\sqrt{3} - 10 - 5\sqrt{3}
]
Упростим правую часть:
[
-4a_1 = -4 - 8\sqrt{3}
]
Теперь разделим обе стороны на (-4):
[
a_1 = 1 + 2\sqrt{3}
]
Теперь мы нашли первый член (a_1). Теперь найдем разность (d) с помощью (3):
[
d = (2 + \sqrt{3}) - (1 + 2\sqrt{3})
]
Упростим:
[
d = 2 + \sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}
]
Теперь мы нашли первый член (a_1) и разность (d). Теперь можем найти пятый член (a_5):
[
a_5 = a_1 + 4d
]
Подставим найденные значения:
[
a_5 = (1 + 2\sqrt{3}) + 4(1 - \sqrt{3})
]
Теперь раскроем скобки и упростим:
[
a_5 = 1 + 2\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} = 5 - 2\sqrt{3}
]
Итак, пятый член арифметической прогрессии равен (5 - 2\sqrt{3}).
