Давайте обозначим скорость течения реки как ( v ) (в км/ч).
Скорость катера по течению будет равна ( 14 + v ) км/ч, а против течения — ( 14 - v ) км/ч.
Согласно условию, катер прошел 40 км по течению и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Мы можем записать равенство времени в пути:
[
\text{Время по течению} + \text{Время против течения} = 3 \text{ ч}
]
Время по течению:
[
t_1 = \frac{40}{14 + v}
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{6}{14 - v}
]
Теперь составим уравнение:
[
\frac{40}{14 + v} + \frac{6}{14 - v} = 3
]
Умножим обе стороны уравнения на ( (14 + v)(14 - v) ), чтобы избавиться от дробей:
[
40(14 - v) + 6(14 + v) = 3(14 + v)(14 - v)
]
Теперь упростим каждую часть:
Левая часть:
[
560 - 40v + 84 + 6v = 644 - 34v
]
Правая часть:
[
3(196 - v^2) = 588 - 3v^2
]
Теперь приравняем обе части:
[
644 - 34v = 588 - 3v^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
3v^2 - 34v + 644 - 588 = 0
]
Упрощаем:
[
3v^2 - 34v + 56 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 3 ), ( b = -34 ), ( c = 56 ).
Считаем дискриминант:
[
D = (-34)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 1156 - 672 = 484.
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{34 \pm \sqrt{484}}{6} = \frac{34 \pm 22}{6}.
]
Находим два значения:
- ( v_1 = \frac{56}{6} \approx 9.33 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{12}{6} = 2 ) км/ч
Таким образом, скорость течения реки может быть примерно 2 км/ч, поскольку 9.33 км/ч уже слишком близка к скорости катера в стоячей воде и может вызвать некорректные результаты.
Ответ: скорость течения реки составляет 2 км/ч.
