Упростите тригонометрическое выражение: 1) cos(alpha - pi/2) - sin(alpha - pi/2) 2) 8tan 945 deg + tan(810 deg + alpha) - cot(450 - alpha) 3) sin(2alpha - pi) + 2cos(alpha + (3pi)/2) * sin(alpha - (3pi)/2) 4) sin(alpha + pi) + tan(alpha - pi) 5) sin(23pi + 2018) + cos((31pi)/2 + 2018) 6) sin((35pi)/2 - alpha) + cos(68pi - alpha)

Давайте подробно разберем каждое из представленных тригонометрических выражений и упростим их по шагам. ### 1) \( \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) \) Используем тригонометрические преобразования: - \( \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x \) - \( \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x \) Подставим эти равенства в выражение: \[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha), \quad \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) \] Таким образом, имеем: \[ \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) = \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \] ### Ответ: \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\) --- ### 2) \( 8\tan(945^\circ) + \tan(810^\circ + \alpha) - \cot(450^\circ - \alpha) \) Сначала упростим каждую тригонометрическую функцию: - \( 945^\circ = 945^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 225^\circ \) ⇒ \( \tan(945^\circ) = \tan(225^\circ) = -1 \) - \( 810^\circ = 810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ \) ⇒ \( \tan(810^\circ + \alpha) = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot(\alpha) \) - \( 450^\circ = 450^\circ - 360^\circ = 90^\circ \) ⇒ \( \cot(450^\circ - \alpha) = \cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha) \) Теперь подставим упрощенные значения в выражение: \[ 8(-1) + (-\cot(\alpha)) - \tan(\alpha) = -8 - \cot(\alpha) - \tan(\alpha) \] ### Ответ: \(-8 - \cot(\alpha) - \tan(\alpha)\) --- ### 3) \( \sin(2\alpha - \pi) + 2\cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \) Упрощаем каждую из функций: - \( \sin(2\alpha - \pi) = -\sin(2\alpha) \) - \( \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos(\alpha) \cdot (-1) = -\sin(\alpha) \) - \( \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha) \) Подставим это в выражение: \[ -\sin(2\alpha) + 2 \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = -\sin(2\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \] Так как \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \): \[ -\sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = -2\sin(2\alpha) \] ### Ответ: \(-2\sin(2\alpha)\) --- ### 4) \( \sin(\alpha + \pi) + \tan(\alpha - \pi) \) Используем свойства тригонометрических функций: - \( \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \) - \( \tan(\alpha - \pi) = \tan(\alpha) \) Таким образом, у нас получается: \[ -\sin(\alpha) + \tan(\alpha) \] ### Ответ: \(-\sin(\alpha) + \tan(\alpha)\) --- ### 5) \( \sin(23\pi + 2018) + \cos\left(\frac{31\pi}{2} + 2018\right) \) Сначала упростим \( 23\pi + 2018 \): \[ \sin(23\pi + 2018) = \sin(2018) \quad (\text{так как } \sin \text{ имеет период } 2\pi) \] Теперь упростим \( \frac{31\pi}{2} + 2018 \): \[ \frac{31\pi}{2} = 15\pi + \frac{\pi}{2} \] \[ \cos\left(15\pi + \frac{\pi}{2} + 2018\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2018\right) = -\sin(2018) \] Теперь можем объединить: \[ \sin(2018) - \sin(2018) = 0 \] ### Ответ: 0 --- ### 6) \( \sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(68\pi - \alpha) \) Упрощаем \( \frac{35\pi}{2} - \alpha \): \[ \frac{35\pi}{2} = 17\pi + \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha) \] Упрощаем \( 68\pi - \alpha \): \[ \cos(68\pi - \alpha) = \cos(\alpha) \quad (\text{так как } \cos \text{ имеет период } 2\pi) \] Теперь итоговое выражение: \[ \cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha) \] ### Ответ: \(2\cos(\alpha)\) --- Теперь у вас есть упрощенные выражения для всех заданных тригонометрических выражений! Если будут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.