Упростите тригонометрическое выражение: 1) cos(alpha - pi/2) - sin(alpha - pi/2) 2) 8tan 945 deg + tan(810 deg + alpha) - cot(450 - alpha) 3) sin(2alpha - pi) + 2cos(alpha +…

Давайте подробно разберем каждое из представленных тригонометрических выражений и упростим их по шагам.

1) \( \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) \)

Используем тригонометрические преобразования:

• \( \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x \)
• \( \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x \)

Подставим эти равенства в выражение:

\[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha), \quad \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha) \]

Таким образом, имеем: \[ \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) = \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \]

Ответ:

\(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\)

---

2) \( 8\tan(945^\circ) + \tan(810^\circ + \alpha) - \cot(450^\circ - \alpha) \)

Сначала упростим каждую тригонометрическую функцию:

• \( 945^\circ = 945^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 225^\circ \) ⇒ \( \tan(945^\circ) = \tan(225^\circ) = -1 \)
• \( 810^\circ = 810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ \) ⇒ \( \tan(810^\circ + \alpha) = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot(\alpha) \)
• \( 450^\circ = 450^\circ - 360^\circ = 90^\circ \) ⇒ \( \cot(450^\circ - \alpha) = \cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha) \)

Теперь подставим упрощенные значения в выражение:

\[ 8(-1) + (-\cot(\alpha)) - \tan(\alpha) = -8 - \cot(\alpha) - \tan(\alpha) \]

Ответ:

\(-8 - \cot(\alpha) - \tan(\alpha)\)

---

3) \( \sin(2\alpha - \pi) + 2\cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \)

Упрощаем каждую из функций:

• \( \sin(2\alpha - \pi) = -\sin(2\alpha) \)
• \( \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos(\alpha) \cdot (-1) = -\sin(\alpha) \)
• \( \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha) \)

Подставим это в выражение:

\[ -\sin(2\alpha) + 2 \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) = -\sin(2\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Так как \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \):

\[ -\sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = -2\sin(2\alpha) \]

Ответ:

\(-2\sin(2\alpha)\)

---

4) \( \sin(\alpha + \pi) + \tan(\alpha - \pi) \)

Используем свойства тригонометрических функций:

• \( \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) \)
• \( \tan(\alpha - \pi) = \tan(\alpha) \)

Таким образом, у нас получается:

\[ -\sin(\alpha) + \tan(\alpha) \]

Ответ:

\(-\sin(\alpha) + \tan(\alpha)\)

---

5) \( \sin(23\pi + 2018) + \cos\left(\frac{31\pi}{2} + 2018\right) \)

Сначала упростим \( 23\pi + 2018 \):

\[ \sin(23\pi + 2018) = \sin(2018) \quad (\text{так как } \sin \text{ имеет период } 2\pi) \]

Теперь упростим \( \frac{31\pi}{2} + 2018 \):

\[ \frac{31\pi}{2} = 15\pi + \frac{\pi}{2} \] \[ \cos\left(15\pi + \frac{\pi}{2} + 2018\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2018\right) = -\sin(2018) \]

Теперь можем объединить:

\[ \sin(2018) - \sin(2018) = 0 \]

Ответ:

0

---

6) \( \sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(68\pi - \alpha) \)

Упрощаем \( \frac{35\pi}{2} - \alpha \):

\[ \frac{35\pi}{2} = 17\pi + \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha) \]

Упрощаем \( 68\pi - \alpha \):

\[ \cos(68\pi - \alpha) = \cos(\alpha) \quad (\text{так как } \cos \text{ имеет период } 2\pi) \]

Теперь итоговое выражение:

\[ \cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha) \]

Ответ:

\(2\cos(\alpha)\)

---

Теперь у вас есть упрощенные выражения для всех заданных тригонометрических выражений! Если будут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.