Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь 15 см. Найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, воспользуемся известными формулами для периметра и площади. 1. **Формулы периметра и площади прямоугольника:** - Периметр (P) прямоугольника определяется как: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника. - Площадь (S) прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot b \] 2. **Параметры задачи:** - Периметр \( P = 16 \) см. - Площадь \( S = 15 \) см². 3. **Подставим известные значения в формулы:** - Сначала из формулы для периметра выразим одну из сторон. Из формулы \( P = 2(a + b) \) получаем: \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Таким образом, мы имеем: \[ a + b = 8 \quad (1) \] - Из формулы для площади \( S = a \cdot b = 15 \) см² мы можем записать: \[ a \cdot b = 15 \quad (2) \] 4. **Решение системы уравнений:** Теперь у нас есть система из двух уравнений: - Уравнение (1): \( a + b = 8 \) - Уравнение (2): \( a \cdot b = 15 \) Из уравнения (1) можем выразить \( b \): \[ b = 8 - a \] Подставим это значение в уравнение (2): \[ a \cdot (8 - a) = 15 \] Раскроем скобки: \[ 8a - a^2 = 15 \] Переносим все в одну сторону: \[ a^2 - 8a + 15 = 0 \] 5. **Решение квадратного уравнения:** Теперь решим квадратное уравнение \( a^2 - 8a + 15 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \] Найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Это дает нам два значения: \( a_1 = \frac{10}{2} = 5 \) и \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \). 6. **Находим стороны:** Теперь, подставив значение \( a \) в уравнение для \( b \): - Если \( a = 5 \), то \( b = 8 - 5 = 3 \). - Если \( a = 3 \), то \( b = 8 - 3 = 5 \). Таким образом, длины сторон прямоугольника: - \( a = 5 \) см и \( b = 3 \) см. 7. **Проверка:** Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи: - Периметр: \[ P = 2(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16 \] (верно) - Площадь: \[ S = 5 \cdot 3 = 15 \] (верно) **Ответ:** Длины сторон прямоугольника равны 5 см и 3 см.