Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь 15 см. Найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, воспользуемся известными формулами для периметра и площади.

1. Формулы периметра и площади прямоугольника:

   • Периметр (P) прямоугольника определяется как:
     \[ P = 2(a + b) \]
     где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
   • Площадь (S) прямоугольника рассчитывается по формуле:
     \[ S = a \cdot b \]

2. Параметры задачи:

   • Периметр \( P = 16 \) см.
   • Площадь \( S = 15 \) см².

3. Подставим известные значения в формулы:

   • Сначала из формулы для периметра выразим одну из сторон. Из формулы \( P = 2(a + b) \) получаем:
     \[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
     Таким образом, мы имеем:
     \[ a + b = 8 \quad (1) \]

   • Из формулы для площади \( S = a \cdot b = 15 \) см² мы можем записать:
     \[ a \cdot b = 15 \quad (2) \]

4. Решение системы уравнений:
   Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   • Уравнение (1): \( a + b = 8 \)
   • Уравнение (2): \( a \cdot b = 15 \)

   Из уравнения (1) можем выразить \( b \):
   \[ b = 8 - a \]

   Подставим это значение в уравнение (2):
   \[ a \cdot (8 - a) = 15 \]
   Раскроем скобки: \[ 8a - a^2 = 15 \]
   Переносим все в одну сторону:
   \[ a^2 - 8a + 15 = 0 \]

5. Решение квадратного уравнения:
   Теперь решим квадратное уравнение \( a^2 - 8a + 15 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]

   Найдем корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \]
   Это дает нам два значения:
   \( a_1 = \frac{10}{2} = 5 \) и \( a_2 = \frac{6}{2} = 3 \).

6. Находим стороны:
   Теперь, подставив значение \( a \) в уравнение для \( b \):

   • Если \( a = 5 \), то \( b = 8 - 5 = 3 \).
   • Если \( a = 3 \), то \( b = 8 - 3 = 5 \).

Таким образом, длины сторон прямоугольника:

• \( a = 5 \) см и \( b = 3 \) см.

7. Проверка:
   Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:
   • Периметр:
     \[ P = 2(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16 \] (верно)
   • Площадь:
     \[ S = 5 \cdot 3 = 15 \] (верно)

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 5 см и 3 см.