Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 0,1 м, периодом 0,02 с, начальной фазой 90 ∘ . Найти амплитудные значения скорости и ускорения тела. Чему будут равны координата, скорость и ускорение при t = 1,015 с?
Для решения этой задачи воспользуемся знаниями из физики о гармонических колебаниях. Давайте пошагово разберем, как найти нужные значения.
### Дано:
- Амплитуда \( A = 0,1 \) м
- Период \( T = 0,02 \) с
- Начальная фаза \( \phi = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \) рад
### Основные формулы:
1. **Координата \( x(t) \)**:
\[
x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)
\]
где \( \omega \) - угловая частота.
2. **Угловая частота \( \omega \)**:
\[
\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
3. **Скорость \( v(t) \)**:
\[
v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)
\]
4. **Ускорение \( a(t) \)**:
\[
a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t + \phi)
\]
### Шаг 1: Находим угловую частоту \( \omega \):
\[
\omega = \frac{2\pi}{0,02} = 100\pi \, \text{рад/с}
\]
### Шаг 2: Нахождение амплитудных значений скорости и ускорения
- **Максимальная скорость \( V_{max} \)**:
\[
V_{max} = A \cdot \omega = 0,1 \cdot 100\pi \approx 31,42 \, \text{м/с}
\]
- **Максимальное ускорение \( A_{max} \)**:
\[
A_{max} = A \cdot \omega^2 = 0,1 \cdot (100\pi)^2 = 0,1 \cdot 10000 \cdot \pi^2 \approx 986.96 \, \text{м/с}^2
\]
### Шаг 3: Нахождение значений при \( t = 1,015 \) с
Теперь подставим \( t = 1,015 \) с в формулы для координаты, скорости и ускорения.
1. **Координата \( x(1,015) \)**:
\[
x(1,015) = 0,1 \cdot \cos(100\pi \cdot 1,015 + \frac{\pi}{2})
\]
Вычислим аргумент косинуса:
\[
100\pi \cdot 1,015 + \frac{\pi}{2} = 101,5\pi + \frac{\pi}{2} = (102 + 0,5)\pi = 102,5\pi
\]
Поскольку \( \cos \) периодичен, сначала отнимем \( 102\pi \) (это полный оборот):
\[
\cos(102,5\pi) = \cos(0,5\pi) = 0
\]
Подставляем:
\[
x(1,015) = 0,1 \cdot 0 = 0 \, \text{м}
\]
2. **Скорость \( v(1,015) \)**:
\[
v(1,015) = -0,1 \cdot 100\pi \cdot \sin(101,5\pi)
\]
Поскольку \( \sin(101,5\pi) = -1 \):
\[
v(1,015) = -0,1 \cdot 100\pi \cdot (-1) = 10\pi \approx 31,42 \, \text{м/с}
\]
3. **Ускорение \( a(1,015) \)**:
\[
a(1,015) = -0,1 \cdot (100\pi)^2 \cdot \cos(101,5\pi)
\]
Поскольку \( \cos(101,5\pi) = 0 \):
\[
a(1,015) = -0,1 \cdot 10000\pi^2 \cdot 0 = 0 \, \text{м/с}^2
\]
### Итоговые значения:
- Координата \( x(1,015) = 0 \, \text{м} \)
- Скорость \( v(1,015) \approx 31,42 \, \text{м/с} \)
- Ускорение \( a(1,015) = 0 \, \text{м/с}^2 \)
Таким образом, мы получили все необходимые значения для данной задачи. Если нужны дополнительные пояснения или примеры, пожалуйста, дайте знать!
