Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р-0,7 . Найдите вероятность того что стрелку…
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р-0,7 . Найдите вероятность того что стрелку потребуется А) ровно 4 попытки Б) от 1 до 3 попыток
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать концепцию геометрического распределения, так как речь идет о серии независимых испытаний, которые продолжаются до первого успеха (попадания).
А) Найти вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки
Понятие геометрического распределения: Вероятность того, что первый успех произойдет на \( k \)-ом испытании, можно вычислить по формуле: \[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p \] где \( p \) — вероятность успеха (в данном случае 0,7), а \( k \) — номер попытки.
Подставим данные в формулу: Для \( k = 4 \):
- \( p = 0,7 \)
- \( 1 - p = 0,3 \)
Теперь подставляем значения в формулу: \[ P(X = 4) = (0,3)^{4-1} \cdot 0,7 = (0,3)^3 \cdot 0,7 \]
Вычисление: Сначала вычислим \( (0,3)^3 \): \[ (0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027 \] Теперь подставляем в формулу: \[ P(X = 4) = 0,027 \cdot 0,7 = 0,0189 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется ровно 4 попытки, равна 0,0189 или 1,89%.
Б) Найти вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток
Для того чтобы найти вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток, мы будем складывать вероятности для 1, 2 и 3 попыток:
Вычислим для 1 попытки: \[ P(X = 1) = p = 0,7 \]
Вычислим для 2 попыток: \[ P(X = 2) = (1 - p)^{2-1} \cdot p = (0,3)^1 \cdot 0,7 = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21 \]
Вычислим для 3 попыток: \[ P(X = 3) = (1 - p)^{3-1} \cdot p = (0,3)^2 \cdot 0,7 = 0,09 \cdot 0,7 = 0,063 \]
Сложим вероятности: Теперь сложим все вычисленные вероятности: \[ P(1 \leq X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063 \]
Вычисление суммы: \[ P(1 \leq X \leq 3) = 0,7 + 0,21 + 0,063 = 0,973 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток, равна 0,973 или 97,3%.
Ответы:
А) Вероятность, что стрелку потребуется ровно 4 попытки: 0,0189 (1,89%).
Б) Вероятность, что стрелку потребуется от 1 до 3 попыток: 0,973 (97,3%).
